ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

素数が無数に存在することの証明

こんにちは,ぱいです.

無事に院試に合格して,学部最後の夏休みを満喫しています.

 

 

このあいだ素数が無数に存在することの証明を思いついたので書きます.

(あとから人に指摘されて,結局よく知られたものだと分かりアレだったけど)

 

 

リーマンのゼータ関数 $\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\cdots$ は変形すると素数を用いて次のように表せます.

\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(s)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\\&=&\sum_{e_{1},\ e_{2},\cdots\geq0}\ \prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{p_{i}^{e_{i}s}}\\&=&\prod_{p_{i}:prime}\ \sum_{e_{i}=0}^{\infty}\frac{1}{p_{i}^{e_{i}s}}\\&=&\prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{1-p_{i}^{-s}}\end{eqnarray}

(こういう表示をオイラー積表示といいます)

 

よって,もし素数が有限個しか存在しないと仮定したら\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2)=\prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{1-p_{i}^{-2}}\end{eqnarray}は有理数になります.

ところが,$\zeta(2)$ の値を求めるとこのあいだの記事でも書いたように \begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}\end{eqnarray}で,これは無理数であることが知られています.

これは矛盾しているので,素数は無数に存在するということになります.

 

 

フォロワーに教えてもらったのですが,$\displaystyle\zeta(1)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$ が発散することを使うほうがもっと簡単でした()

 

おしまい.