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ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

ベキ級数の収束半径とディリクレ級数の収束軸の話

こんにちは,ぱいです.

最近おもしろいと思ったことを書きます.

 

 

このごろディリクレ級数と呼ばれる級数を勉強しています.

ベキ級数と似た性質やびみょーに異なった性質とかがあって面白いので,ディリクレ級数の話を書く前にベキ級数の話をざーっとおさらいしておきます.

 

 

 数列 $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ に対して $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}\ \ (z\in\mathbb{C})$ をベキ級数といいます.

 

$z_{0}\in\mathbb{C}$ に対して $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z_{0}^{n}$ が収束するとき,$\{a_{n}z_{0}^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $n\in\mathbb{N}$ で $|a_{n}z_{0}^{n}|<C $ となります. 

このとき任意の $z\in\mathbb{C},\ n\in\mathbb{N}$ で\begin{eqnarray}\displaystyle|a_{n}z^{n}|&<&C\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n}\end{eqnarray}

なので,\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}z^{n}|&<&\sum_{n\in\mathbb{N}}C\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n}\end{eqnarray}となります. よって,$\displaystyle\left|\frac{z}{z_{0}}\right|<1$ つまり $|z|<|z_{0}|$ ならベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は絶対収束します.

そこで,$\displaystyle R_{0}=\sup\{|z|\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$は収束する$\}$ をベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径といい,領域 $|z|<R_{0}$ を収束円盤といいます.

つまり,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は $|z|<R_{0}$ なら収束し,$|z|>R_{0}$ なら発散します.

 

ベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径 $R_{0}$ は,$\displaystyle R_{0}=\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ で求められます.

まず $\displaystyle R_{0}\leq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$|z|<R_{0}$ とすると $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ が収束するので $\{a_{n}z^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は有界で,ある $M>0$ が存在して任意の $n\in\mathbb{N}$ で\begin{eqnarray}|a_{n}z^{n}|&<&M\end{eqnarray}となります.このとき\begin{eqnarray}|a_{n}|^{-1/n}&>&M^{-1/n}|z|\end{eqnarray}となるので\begin{eqnarray}\displaystyle\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}&>&\liminf_{n\to\infty}M^{-1/n}|z|=|z|\end{eqnarray} となります.よって $\displaystyle R_{0}\leq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

逆に $\displaystyle R_{0}\geq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$\displaystyle|z|<\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k>n}|a_{k}|^{-1/k}$ とすると,ある $n_{0}\in\mathbb{N}$ が存在して,\begin{eqnarray}\displaystyle|z|<\inf_{k>n_{0}}|a_{k}|^{-1/k}\end{eqnarray}となります.このとき\begin{eqnarray}\displaystyle\sup_{k>n_{0}}|z||a_{k}|^{1/k}<1\end{eqnarray}より $\displaystyle\sum_{k>n_{0}}|a_{k}z^{k}|$ は収束します.よって $|z|<R_{0}$ となり,$\displaystyle R_{0}\geq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

 

ベキ級数は収束円盤の内部では必ず収束し収束円盤の外部では必ず発散しますが,円周上では収束したり発散したり時と場合によっていろいろです.

たとえば $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$ のベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{z^{n}}{n}$ の収束半径は\begin{eqnarray}\displaystyle R_{0}&=&\liminf_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{-1/n}\\&=&1\end{eqnarray}ですが,$z=1$ のとき級数は $+\infty$ に発散し,$z=-1$ のとき級数は $\log 2$ に収束します.

 

 

さて,そろそろディリクレ級数の話を書いていきます.

 

複素数列 $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ と発散する狭義単調増加実数列 $\{\lambda_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ に対して $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\ \ (s\in\mathbb{C})$ をディリクレ級数といいます.(普段複素数は $z=x+iy$ と書きますが,ディリクレ級数を考えるときは $s=σ+it$ と書くことが多いらしいです.)

 

$\lambda_{n}=n$ のときは,$z=e^{-s}$ とおくとディリクレ級数はベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ となります. 

このベキ級数の収束半径を $R_{0}$ とし,$σ_{0}=\log\frac{1}{R_{0}}$ とおいてみましょう.

$|z|=|e^{-s}|=|e^{-σ}|$ なので,$\mathrm{Re}(s)>σ_{0}$ なら $|z|<R_{0}$ となり級数は収束します.

逆に $\mathrm{Re}(s)<σ_{0}$ なら $|z|>R_{0}$ となり級数は発散します.

($\mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ のときは $|z|=R_{0}$ なので時と場合によっていろいろです.)

このように,ディリクレ級数を考えると,ベキ級数の収束円盤の円周 $|z|=R_{0}$ は $\mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ という軸のような形になります.

 

一般にディリクレ級数には,ベキ級数の収束半径と似たような収束軸と呼ばれるものがあります.

 

まず,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ が $s=s_{0}=σ_{0}+it_{0}$ で収束するときこの級数が領域 $D_{0}:=\{s\in\mathbb{C}\mid\mathrm{Re}(s)>σ_{0}\}$ でコンパクト一様収束することを示します.

$a_{n}e^{-\lambda_{n}(s_{0}}$ を改めて $a_{n}$ とおけばいいので,$s_{0}=0$ のときを示せば十分です.

$\varepsilon>0$ に対して $\displaystyle D_{\varepsilon}:=\{s\in\mathbb{C}\mid|\arg s|\geq\frac{\pi}{2}-\varepsilon\}$ とおくと,任意のコンパクト集合 $K\subset D_{0}$ に対してある $\varepsilon>0$ で $K\subset D_{\varepsilon}$ となります.($K$ は有界閉だから.)

よって,任意の $\varepsilon>0$ に対して $D_{\varepsilon}$ で $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{C}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ が一様収束することを示せば十分です.

$|\arg s|=\theta$ とおくと $\displaystyle\theta\geq\frac{\pi}{2}-\varepsilon$ よりある $C>0$ で $\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}<C$ つまり $\displaystyle\frac{|s|}{σ}<C$ となります.

また,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{C}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $s=0$ である $S\in\mathbb{C}$ に収束するので,ある $N_{0}\in\mathbb{N}$ が存在し,$N>N_{0}$ なら $\displaystyle\left|\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}-S\right|<\frac{\varepsilon}{2(C+1)}$ となります.

この $N_{0}$ に対して,$N>M>N_{0}$ なら 

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}-\sum_{n\leq M}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\right|&=&\left|\sum_{M<n\leq N}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N}\left(\sum_{M<k\leq n}a_{k}-\sum_{M<k<n}a_{k}\right)e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N}\sum_{M<k\leq n}a_{k}e^{-\lambda_{n}s}-\sum_{M<n\leq N}\sum_{M<k<n}a_{k}e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N-1}\sum_{M<k\leq n}a_{k}\left(e^{-\lambda_{n}s}-e^{-\lambda_{n+1}s}\right)+\sum_{M<k\leq N}a_{k}e^{-\lambda_{N}s}\right|\\&\leq&\sum_{M<n\leq N-1}\left|\sum_{M<k\leq n}a_{k}\right|\left|e^{-\lambda_{n}s}-e^{-\lambda_{n+1}s}\right|+\left|\sum_{M<k\leq N}a_{k}\right|\left|e^{-\lambda_{N}s}\right|\\&=&\sum_{M<n\leq N-1}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|e^{-\lambda_{N}σ}\\&\leq&\sum_{M<n\leq N-1}\left(\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-S\right|+\left|S-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\right)\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left(\left|\sum_{k\leq N}a_{k}-S\right|+\left|S-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\right)e^{-\lambda_{N}σ}\\&<&\sum_{M<n\leq N-1}\left(\frac{\varepsilon}{2(C+1)}+\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\right)\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left(\frac{\varepsilon}{2(C+1)}+\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\right)e^{-\lambda{N}σ}\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&\leq&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}\left|se^{-xs}\right|dx+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}|s|e^{-xσ}dx+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\frac{|s|}{σ}\left(e^{-\lambda{n}σ}-e^{-\lambda_{n+1}σ}\right)+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\frac{|s|}{σ}\left(e^{-\lambda_{M+1}σ}-e^{-\lambda_{N}σ}\right)+e^{-\lambda{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(C\left(e^{-\lambda_{M+1}σ}-e^{-\lambda_{N}σ}\right)+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(Ce^{-\lambda_{M+1}}σ+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(Ce^{-\lambda_{N_{0}}σ}+e^{-\lambda_{N_{0}}σ}\right)\\&=&\varepsilon e^{-\lambda_{N_{0}}σ}\\&<&\varepsilon\end{eqnarray}

となるので,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $D_{\varepsilon}$ で一様収束します.

 

そこで,$\displaystyle A:=\{\mathrm{Re}(s)\mid\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$は収束する$\}$ に対して $A=\emptyset$ なら $σ_{0}:=+\infty$ とし $A\neq\emptyset$ なら $σ_{0}:=\inf A$ とし,この $σ_{0}$ をディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ の収束軸といいます.

つまり,ディリクレ級数$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $σ>σ_{0}$ なら収束し,$σ<σ_{0}$ なら発散します.

 

 

さて,$\lambda_{n}=\log n$ のディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ を通常ディリクレ級数といいます.

 

通常ディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸は $\displaystyle σ_{0}=\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ で求められます.

まず $\displaystyle σ_{0}\geq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ を示します.

$σ_{0}=0$ としてよく,$σ>0$ なる $σ$ を任意にとります.

$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}n^{-σ}\right|<C\end{eqnarray}

となります.よって,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|&=&\left|\sum_{n\leq N}\left(a_{n}n^{-σ}\right)n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\left(\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}-\sum_{k\leq n-1}a_{k}k^{-σ}\right)n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n-1}a_{k}k^{-σ}n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}(n+1)^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}\left(n^{σ}-(n+1)^{σ}\right)+\sum_{k\leq N}a_{k}k^{-σ}N^{σ}\right|\\&\leq&\sum_{n\leq N-1}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}\right|\left((n+1)^{σ}-n^{σ}\right)+\left|\sum_{k\leq N}a_{k}k^{-σ}\right|N^{σ}\\&<&\sum_{n\leq N-1}C\left((n+1)^{σ}-n^{σ}\right)+CN^{σ}\\&=&C(N^{σ}-1^{σ})+CN^{σ}\\&<&2CN^{σ}\end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&<&\frac{\log 2C}{\log N}+σ\end{eqnarray}

となり

\begin{eqnarray}\displaystyle\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&\leq&\limsup_{N\to\infty}\left(\frac{\log 2C}{\log N}+σ\right)\\&=&σ\end{eqnarray}

となります.よって $\displaystyle\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}\leq σ_{0}$ です.

逆に $\displaystyle σ_{0}\leq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ を示します.

$\displaystyle σ>\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}=\inf_{N\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq N}\frac{\log\left|\sum_{n\leq k}a_{n}\right|}{\log k}$ とします.

$\displaystyle\inf_{N\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq N}\frac{\log\left|\sum_{n\leq k}a_{n}\right|}{\log k}<\alpha<σ$ なる $\alpha$ を任意にとると,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&\leq&\alpha\end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|&\leq&N^{\alpha}\end{eqnarray}

です.さて,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\leq N}a_{n}n^{-σ}&=&\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}\left(n^{-σ}-(n+1)^{-σ}\right)+\sum_{k\leq N}a_{k}N^{-σ}\\&=&\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx+N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\end{eqnarray}

です.ここで, 

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx\right|&\leq&\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\right|\int_{n}^{n+1}\left|σx^{-σ-1}\right|dx\\&=&|σ|\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\right|\int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx\\&\leq&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha}\int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx\\&\leq&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha}\int_{n}^{n+1}n^{-σ-1}dx\\&=&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha-σ-1}\\&<&|σ|\left(1+\int_{1}^{N}x^{\alpha-σ-1}dx\right)\\&=&|σ|\left(1+\frac{1-N^{\alpha-σ}}{σ-\alpha}\right)\\&<&|σ|\left(1+\frac{1}{σ-\alpha}\right)\end{eqnarray} 

より $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx$ は絶対収束します.また,

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\leq N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\right|&\leq&N^{-σ}\sum_{k\leq N}|a_{k}|\\&\leq&N^{-σ}N^{\alpha}\\&=&N^{\alpha-σ}\end{eqnarray}

で $\alpha-σ<0$ なので

\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\left|N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\right|=0\end{eqnarray}

となります.よって $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{0}$ となります.つまり $\displaystyle σ_{0}\leq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ です.

 

さて,ベキ級数のときは $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ と $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|z^{n}$ の収束半径はどちらも $\displaystyle R_{0}=\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ で同じでしたが,通常ディリクレ級数の収束軸は $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ と $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ とでズレる場合もあります.

たとえば,リーマンのゼータ関数 $\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n\in\mathbb{N}}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=1$ ですが,その交代級数 $\sum_{n\in\mathbb{N}}(-1)^{n-1}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=0$ です.

 

しかし,係数に絶対値をつけても収束軸はせいぜい正の方向に $1$ までしかズレません.

つまり, $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸を $σ_{0}$,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ の収束軸を $σ_{1}$ とすると

\begin{eqnarray}σ_{0}\leq σ_{1}\leq σ_{0}+1\end{eqnarray}

となります.

$σ_{0}\leq σ_{1}$ はいいので,$σ_{1}\leq σ_{0}+1$ を示します.

ここで,$σ_{0}=0$ としてよいので,$σ>1$ なら $σ>σ_{1}$ となることを示します.

$0<\alpha<σ-1$ なる $\alpha$ を任意にとると,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-\alpha}$ は収束するので $\{a_{n}n^{-\alpha}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は収束し有界で,ある $C>0$ が存在し任意の $n\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\left|a_{n}n^{-\alpha}\right|<C\end{eqnarray}

となります. このとき

\begin{eqnarray}|a_{n}|n^{-σ}<Cn^{\alpha-σ}\end{eqnarray}

となるので,

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-σ}&\leq&\sum_{n\in\mathbb{N}}Cn^{\alpha-σ}\\&=&C\zeta(σ-\alpha)\end{eqnarray}

となります.ここで $\zeta(s)$ の収束軸は $σ_{0}=1$ で $σ-\alpha>1$ なので,$\zeta(σ-\alpha)$ は収束します.よって $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{1}$ となります.

 

 

こんな感じで,ディリクレ級数とベキ級数は似たような性質もあるしびみょーに異なった性質もあっておもしろいです. 

 

以上,最近おもしろいと思った話でした.

 

 

参考文献

D.B.ザギヤー (1990)『数論入門-ゼータ関数と2次体-』(片山孝次訳) 岩波書店