1/(1+x^n) の積分の話

こんにちは． ぱいです．

期末試験とかでバタバタしてますが元気に生きてます．

複素関数論の再履のテストを昨日受けてきました．

去年は本当に1ミリも勉強をしていなくて何もわからなかったのですが， 今年はちゃんと勉強しました．

勉強してみると， 一致の定理の結果とかはビックリやし， 代数学の基本定理が複素関数論のいろんな考えかたを使って証明できたり， いろいろ面白さを感じれました．（小並感）

実関数の積分が留数定理を使って求められたりするのも面白いと思いました．

たとえば， 期末試験の問題で次の積分を計算せよっていう問題がありました．

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{1+x^{6}}dx$

これをちょこっと一般化したもの， つまり次のような積分を暇だったので計算してみました．( $n$ が奇数のときがあるので積分区間をびみょーに変えてます．)

$I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\cfrac{1}{1+x^{n}}dx\hspace{1em}(n\geq 2)$

自分のこれまでのブログの記事とか見返してみると代数の話ばっかりだったので， たまにはこういう微積とかの話も書いてみよーかなと思って， 書きます．

複素関数 $f(z)=\cfrac{1}{1+z^{n}}$ に対して， 次のような $C_{1},\ C_{2},\ C_{3}$ で反時計回りの積分経路 $C=C_{1}+C_{2}+C_{3}$ を考える．

$R$ を十分大きな数として， $C_{1}$ は原点から実軸に沿って $R$ までまっすぐ進み， $C_{2}$ は $R$ から $Re^{2\pi i/n}$ までの原点を中心とした円弧で， $C_{3}$ は $Re^{2\pi i/n}$ から原点までまっすぐ進む．

$\displaystyle J_{k}:=\int_{C_{k}}f(z)dz$ とすると

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}J_{1}=I,\\ \displaystyle\lim_{R\to\infty}J_{2}=0,\\ \displaystyle\lim_{R\to\infty} J_{3}=-e^{2\pi i/n}I$

なので，

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{C}f(z)dz=(1-e^{2\pi i/n})I$

となる．

また， $C$ で囲まれた領域内の $f$ の極は $1$位の極 $e^{\pi i/n}$ だけなので， 留数定理より

$\displaystyle \int_{C}f(z)dz=2\pi i{\rm Res}(f,\ e^{\pi i/n})$

となる．ここで $\alpha=e^{\pi i/n}$ としてこの留数を計算すると $f(z)=\displaystyle \frac{1}{(z-\alpha)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{k}z^{n-1-k}}$ より 

${\rm Res}(f,\ \alpha)=\lim_{z\to\alpha}\ (z-\alpha)\cfrac{1}{(z-\alpha)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^{k}z^{n-1-k}}=\cfrac{1}{n\alpha^{n-1}}=\cfrac{1}{n(-e^{-\pi i/n})}$

となる．

以上から

$\displaystyle (1-e^{2\pi i/n})I=2\pi i\cfrac{1}{n(-e^{-\pi i/n})}$

となるので

$\displaystyle I=\cfrac{2\pi i}{n}・\cfrac{1}{(1-e^{2\pi i/n})(-e^{-\pi i/n})}=\cfrac{2\pi i}{n}・\cfrac{1}{e^{\pi i/n}-e^{-\pi i/n}}=\cfrac{\cfrac{\pi}{n}}{\sin\cfrac{\pi}{n}}$

となる． 多分． (合ってるのか分からないので違ったら言ってください．)

留数定理を使うと他にも実関数のいろんな積分が計算できたりして， 楽しかったです．

春休みに時間があったらもうちょっと色々勉強してみるのもいいかも と思いました．

おしまい．