3次方程式と4次方程式を代数的に解こうみたいな話になった
こんにちは，ぱいです．
このあいだフォロワーの人が3次方程式を解こうみたいなのやってたのに感化されました．
2次方程式$x^2+ax+b=0$(☆)の解の公式って中学校か高校かで習いますよね．
$x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$みたいなやつです．
これは，☆を$(x+\frac{a}{2})^2=\frac{a^2-4b}{4}$と整理したら簡単に導けます．
1次方程式$x+a=0$も当たり前ですけど解けますね．
$x=-a$が解の公式です．
じゃあ3次方程式はどうなんだろーって思うと思うんですけど実はこれも解の公式があります．高校では普通習わないけど．
ググったらすぐ分かりますけどクソ長いです．
じゃあ実際に3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$(△)を解いてみましょ～．
△の左辺を$f(x)$とおいておきます．
$f$を$\alpha$のまわりでテイラー展開して$f(x)=f(\alpha)+f^{(1)}(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f^{(2)}}{2}(x-\alpha)^2+\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}(x-\alpha)^3$．
(テイラー展開っていうのを知らない人は，なんか関数を$x-\alpha$の多項式で書き直せる便利なものぐらいに眺めてください．)
変数を$X:=x-\alpha$と書き直すと，△を解くことは$g(X)=0$(ただし$g(x)=f(\alpha)+f^{(1)}(\alpha)X+\frac{f^{(2)}(\alpha)}{2}X^2+\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}X^3$)を解くことと同じですね．
$\alpha$を$-\frac{a}{3}$で取ると$f^{(2)}(\alpha)=0$で$g(x)=f(\alpha)+f^{(1)}(\alpha)X+\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}X^3$となります．
ここで$p:=\frac{6f^{(1)}(\alpha)}{f^{(3)}(\alpha)}，q:=\frac{6}{f^{(3)}(\alpha)}$とおくと，△は$X^3+pX+q=0$と同じです．
つまり$X^3+pX+q=0$(▲)が解ければオッケーです．
$X=y+z$となる任意の$y,z$について， ▲は$(y+z)^3+p(y+z)+q=0$と同じです．
これを整理すると$y^3+z^3+(3yz+p)(y+z)+q=0$となります．
$y,z$を$3yz+p=0$となるように取れば$y^3+z^3+q=0$となります．
$3yz+p=0,y^3+z^3+q=0$となるような$y^3,z^3$は$t$の2次方程式$t^2+qt-\frac{p^3}{27}$の解なので，求められます．
ということはその3乗根$y,z$も求められて，$X$も求められて，$x$も求まるっていう寸法です．
わーい！
実際に$x$がどう表されるかはググってね．
ついでに，4次方程式も代数的に解くことができるので紹介します．
4次方程式も，さっきの3次のときと同じやり方で，$X^4+pX^2+qX+r=0$(▽)に帰着します．
$X^4$=-pX^2-qX-r$に対して任意の$\alpha$で$(X^2+\alpha)^2=(2\alpha-p)X^2-qX+(\alpha^2-r)$が成り立ちます．
この右辺の判別式を$D$として，$D=0$となるように$\alpha$を取ると，▽は$(X^2+\alpha)^2=(\sqrt{2\alpha-p}X-\frac{q}{2\sqrt{2\alpha-p}})^2$となります．
したがって，$D=0$をみたす$\alpha$さえ求められれば4次方程式は解けるということになります．
今，$D=q^2-4(2\alpha-p)(\alpha^2-r)$は$\alpha$の3次式で，3次方程式の解の公式を既にボクらは知っているので，$D=0$をみたす$\alpha$は求められて，したがって4次方程式は代数的に解けるということが分かりました！
わーい！
じゃあ実際に4次方程式の解の公式はどう表されるかっていうと，これもまたクッソ長いのでググってみてみてください．
高校までの知識で3次方程式や4次方程式は簡単に解けるのに解の公式が教科書とかに載ってないのって多分クソ長くて書ききれないからなんですかねー．
4次方程式までで解の公式があるんなら5次方程式の解の公式も気になる！って思うと思うんですけど，その話も書こうと思ったんですけど眠くなった&いろいろ予備知識っていうか準備っていうかがいるのでいつか暇なときにしますおやすみなさい．
何を書きたかったのかよく分からないマンになってしまった．
