ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

可算選択公理の実数バージョン(?)

このあいだ書いた記事。

paiotunoowari.hatenadiary.jp

この記事で、こんな命題が出てきました。

 

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$と$\alpha\in\mathbb{R}$ について、$\alpha$に収束する任意の数列$\{x_{n}\}\subseteq\mathbb{R}$で$f(x_{n})$が$f(\alpha)$に収束するとする。このとき、$f$は$\alpha$で連続となる。

 

実はこの命題は可算選択公理の実数バージョン(?)と同値になるっていうのを前にネットで見て面白かったので紹介します。

 

つまりどういうことかと言うと、次の命題が必要十分条件であるということです。

 

任意の集合族$\{X_{n}\subseteq\mathbb{R}|n\in\mathbb{N},各X_{n}\neq\emptyset\}$に対して、ある$f\colon\mathbb{N}\to\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}X_{n}$で$\forall n\in\mathbb{N},f(n)\in X_{n}$となる。

 

 

(証明) ($0$は自然数に含めることにします。)

十分性は前の記事で書いたので、必要性を示す。

 

任意の集合族$\{X_{n}\subseteq\mathbb{R}|各X_{n}\neq\emptyset\}$を考える。

各$n\in\mathbb{N}$で$\varphi_{n}\colon\mathbb{R}^{n+1}\to(0,1)$を全単射とする。

また、各$n\in\mathbb{N}$で$Z_{n}\colon=\{\varphi_{n}(y)+n | y\in Y_{n}\}$として、$Z\colon\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}Z_{n}$とする。

すると、各$n\in\mathbb{N}$で$\emptyset\underset{\neq}{\subset}Z_{n}\subset(n,n+1)$なので、$Z$は上に非有界となる。

 

この$Z$が非有界な数列$\{z_{n}\}$を持つことを示す。

 

アイバーソンの記法*1で、$\iota\colon\mathbb{R}\to\{0,1\}$を$\iota(x)=[x\in$Arctan(Z)$]$で定める。

すると、$\iota$は$\pi/2$で不連続となる。

よって、条件より、$\pi/2$に収束する数列$\{a_{n}\}$で$\{\iota(a_n)\}$が$\iota(\pi/2)=0$に収束しないものが取れる。

このとき$\{\iota(a_{n})\}$は$1$に収束するので、$\{a_{n}\}$のある部分列$\{b_{n}\}$で各$\iota(b_{n})=1,b_{n}\to1$となるものがとれる。

この$\{b_{n}\}$に対して、数列$\{z_{n}\}$を各$z_{n}\colon=\tan(b_{n})$で定める。

すると、この$\{z_{n}\}$は上に非有界な数列である。

実際、任意の$c\in\mathbb{R}$に対して$b_{n}\to\pi/2$より$Aractan(c)<b_{n}<\pi/2$なる$b_{n}$が取れて、$c<z_{n}$となる。

 

この$\{z_{n}\}$に対して、$\cal{M}\colon=\{m\in\mathbb{N}|\exists n\in\mathbb{N},z_{n}\in Z_{m}\}$とする。

各$n\in\mathbb{N}$に対して、$n\leq\cal{m}$となるような$m\in\cal{M}$のうち最小のものを$\alpha(n)$と書くことにする。

また、$z_{m}\in Z_{\alpha(n)}$となるような$\cal{m}$のうち最小のものを$\beta(n)$と書くことにする。

 すると、各$z_{\beta(n)}\in Z_{\alpha(n)}$なので、ある$y_{\alpha(n)}\colon=(x_{0}^{\alpha(n)},x_{1}^{\alpha(n)},...,x_{\alpha(n)}^{\alpha(n)})$を用いて$z_{\beta(n)}=\varphi(y_{\alpha(n)})+\alpha(n)$と表すことが出来る。

 

この数列$\{y_{\alpha(n)}\}$に対して$f\colon\mathbb{N}\to\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}X_{n}$を各$f(n)\colon=x_{n}^{\alpha(n)}$で定める。

すると、この$f$で各$f(n)\in X_{n}$となる。$■$

 

 

参考文献:alg_dさんの壱大整域 実数関数の連続性 : 選択公理 | 壱大整域

 

*1:アイバーソンの記法

命題Pに対してPが真なら[P]=1、Pが偽なら[P]=0というのをアイバーソンの記法といって、便利です。