ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

試し書き。群の定義とかそのへん。

数式とかを書くのに慣れよう~~っていうことで、明日群の定義とかの話をしゃべるので簡単にそういうのをダラダラとまとめていこう、みたいな記事。

 

定義$1$ 群とは

集合$G\neq\emptyset$上で二項演算$\circ$が定義され、次の$(1)$から$(3)$までが成り立つとき$(G,\circ)$は群であるという。

$(1)$(結合法則)$\forall a,b,c\in G, (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$である。

$(2)$(単位元の存在)$\exists e_{G}\in G,\forall a\in G,e_{G}\circ a=a\circ e_{G}=a$ 

$(3)$(逆元の存在)$\forall a\in G,\exists x\in G, x\circ a=a \circ x=e_{G}$

$(2)$の$e_{G}$を$G$の単位元と呼ぶ。

紛らわしくなければ、$G$の単位元$e_{G}$を単に$e$と書くことにする。

$(3)$の$x$を$a$の逆元と呼び、$a^{-1}$と書く。

また、群$(G,\circ)$が次の$(4)$をみたすとき、特に可換群とかアーベル群とか加法群という。

$(4)$(交換法則)$\forall a,b\in G, a\circ b=b\circ a$

演算が明らかなときは、$(G,\circ )$を単に$G$と書いたりするし、$a\circ b$を単に$ab$と書いたりする。

濃度が有限の群を有限群と呼び、そうでない群を無限群という。

有限群の濃度を、その群の位数という。

また、$g\in G$に対してある$n\in \mathbb{N}$\$\{0\}$で$g^{n}=e$となるとき、そのような$n$の最小値を$g$の位数という。

 

例$2$ 身近な群の例

 たとえば$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$はそれぞれ足し算において$0$を単位元とする加法群である。

また、$\mathbb{Q}$\$\{0\}$,$\mathbb{R}$\$\{0\}$,$\mathbb{C}$\$\{0\}$はそれぞれ掛け算において$1$を単位元とするアーベル群である。 

※$\mathbb{Z}$\$\{0}$が掛け算で群になるとか書いてしまっていましたが、誤りです。訂正しました。(10月24日追記。)

 

例$3$ 行列の成す群

$\mathbb{R}$上の$n$次正則行列全体を$GL_{n}(\mathbb{R})$と書き、これは普通の積で群を成すので一般線形群と呼ぶ。

また、$GL_{n}(\mathbb{R})$の元のうち行列式が$1$となるもの全体も同じように群をなすが、これを$SL_{n}(\mathbb{R})$と書き特殊線形群と呼ぶ。

 

例$4$ 対称群

$[n]=\{1,2,…,n\}$に対して置換$σ\colon [n]\to [n]$全体が写像の合成で成す有限群を$n$次対称群と呼び、$\mathfrak{S}_{n}$と書く。

 

例$5$ 群の直積

各$i=1,2,…,n$で$G_{i}$が群のとき、$G\colon =G_{1}\times G_{2}\times …\times G_{n}$に次のように演算を入れる;

$a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})\in G$に対して$ab=(a_{1}b_{1},...,a_{n}b_{n})$

すると$G$は群になる。

 

群の簡単な性質を見てみる。

 

命題$6$ 群の簡単な性質

 群$G$に対して次が成り立つ。

$(1)$$G$の単位元の存在は一意である。

$(2)$$G$の各元に対してその逆元の存在は一意である。

$(3)$$a,b\in G$なら$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$である。

$(4)$$a\in G$なら$(a^{-1})^{-1}=a$である。 

(証明)

略。$■$

 

 定義$7$ 部分群

 $G\colon$群、$H\subseteq G$で、$H$は$G$の演算で群を成すとする。

このとき、$H$は$G$の部分群であるといって、$H\le G$と書く。

特に$\{e\},G\le G$を自明な部分群という。

 

定義$8$ 便利な記号

$G\colon$群、$A,B\subseteq G$のとき、

$AB\colon=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$、$A^{-1}\colon=\{a^{-1}\mid a\in A\}$という意味にする。

 

命題$9$ 部分群

$G\colon$群、$H\subseteq G$で次は同値。

$(1)H\le G$である。

$(2)HH\subseteq H$かつ$H^{-1}\subseteq H$である。

$(3)HH^{-1}\subseteq H$である。

$(4)H^{-1}H\subseteq H$である。

 (証明)

略。$■$

 

 命題$10$

$H\subseteq G$のとき次が成り立つ。

$(1)e_{H}=e_{G}$である。

$(2)$ 各$a\in H$で、$a$の$H$での逆元は$G$での逆元と一致する。

 (証明)

$(1)$$H$において$e_{H}e_{H}=e_{H}$である。

$G$における$e_{H}$の逆元を$x\in G$としてそれを掛けると$e_{H}=e_{G}$となる。

$(2)$任意の$a\in H$を考える。

$H,G$での$a$の逆元をそれぞれ$x\in H,y\in G$とすると、$(1)$より$e_{H}=e_{G}=e$と書けるので

$x=ex=(ya)x=y(ax)=ye=y$となる。$■$ 

 

例$11$ 身近な部分群の例

$2\mathbb{Z}\le\mathbb{Z}\le\mathbb{Q}\le\mathbb{R}\le\mathbb{C}$とか$SL_{n}(R)\le GL_{n}(R)$とか。

 

 例$12$ 部分群じゃない例

 $\mathbb{Z}$は足し算で群だけど$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$は部分群でない。

 

例$13$ 中心 

$G\colon$群に対して$Z(G)\colon=\{z\in G\mid\forall g\in G,zg=gz\}$を$G$の中心という。

 

部分群の簡単な性質を見てみる。 

 

命題$14$ 部分群の簡単な性質

$(1)A\colon$添字集合で各$\alpha\in A$で$H_{\alpha}\le G$のとき$\cap_{\alpha \in A}H_{\alpha}\le G$となる。

$(2)H,K\le G$のとき、$HK\le G\Leftrightarrow HK=KH$である。

 (証明)

略。$■$

 

定義$15$ 部分群の生成

$G\colon$群、$S\le G$のとき、$S$を含む$G$の部分群全体を$A$で添字づけて$\{H_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$とする。

このとき、$\cap_{\alpha\in A}H_{\alpha}\le G$を$S$で生成される$G$の部分群と呼び、$<S>$と書く。

これは、$<S>=\{s_{1}^{e_{1}}…s_{n}^{e_{n}}\mid各s_{i}\in S,e_{i}=\pm1,n\in\mathbb{N}\}$とも書ける。

(証明)

$S'=\{s_{1}^{e_{1}}…s_{n}^{e_{n}}\mid各s_{i}\in S,e_{i}=\pm1,n\in\mathbb{N}\}$とおいて、$<S>=S'$を示す。

 $S'\subseteq <S>$はいい。

また、$S'S'^{-1}\subseteq S'$より$S'\le G$なので$<S>\subseteq S'$である。

よって、$<S>=S'$となる。$■$

 

定義$16$ 巡回群

群$G$と位数$n$の元$a\in G$について、$<a>=\{e,a,a^{2},...,a^{n-1}\}$を$a$の巡回群という。

 

定義$17$ 正規部分群

$H\le G$について、各$a\in G$で$aH=Ha$が成り立つとする。

このとき$H$は$G$の正規部分群であるといって、$H\unlhd G$と書く。

ただし$\{a\}H$を単に$aH$と書いた。

 

例$18$ 正規部分群の例

$G$がアーベル群なら各部分集合$H\subseteq G$は正規部分群である。

$G$が群のときその中心$Z(G)$は正規部分群である。

 

命題$19$ 正規部分群の簡単な性質

$H\le G$について、次は同値。

$(1)H\unlhd G$である。

$(2)\forall g\in G,gHg^{-1}\subseteq H$である。

$(3)\forall g\in G,gHg^{-1}=H$である。 

(証明)

略。$■$

 

命題$20$ 正規部分群の簡単な性質その$2$

群$G$の部分集合とかについて次が成り立つ。

$(1)添字集合A$で$各a\in A$で$H_{\alpha}\unlhd G$のとき、$\underset{\alpha\in A}{\cap}H_{\alpha}\unlhd G$となる。

$(2)H\le G,N\unlhd G$のとき$HN\unlhd G$となる。

$(3)$(2)と同じ条件で、$H\cap N\unlhd G$となる。

$(4)H,K\unlhd G$のとき$HK\unlhd G$となる。 

(証明)

略。$■$

 

定義$21$ 左剰余類、右剰余類

$H\le G$として、$G$上の同値関係$~$を$a~b\overset{def}{\Leftrightarrow}a^{-1}b\in H$で入れる。

各$a$を含む同値類は$[a]=aH$で、$G$の$H$による$a$を含む左剰余類という。

左剰余類全体$G/~$を$G/H$と書く。

右剰余類も同様に定義されて、右剰余類全体は$H$\$G$と書く。

$G/H$の濃度を$G$における$H$の指数という。

 

定理$22$ ラグランジュの定理

$|G/H|=|G|/|H|$が成り立つ。

(証明)

$G$の異なる剰余類を$A$で添え字づけて$\{[a_\alpha]\}_{\alpha\in A}$と書くと$G=\underset{\alpha\in A}{\cup}a_{\alpha}H$だし、各剰余類の元は$|H|$個なので$|G|=|G/H||H|$となる。$■$

 

定義$23$ 両側剰余類

$H,K\le G$で$G$上の同値関係を$a~b\overset{def}{\Leftrightarrow}HaK=KaH$で入れる。

このとき$G/~$を、$G$の$H,K$による両側剰余類と呼び、$H$\$G/K$と書く。

 

定義$24$ 剰余群

$H\unlhd G$のとき$G/H$に$[a][b]=[ab]$で演算を入れる。

するとこの演算は$well-def.$で、$G/H$は$[e_{G}]=H$を単位元とする群となる。

 

命題$25$ 剰余群の簡単な性質

$H,K\unlhd G$のとき$H\le K$なら$K/H\le G/H$となる。

(証明)

$(K/H)(K/H)^{-1}\subseteq K/H$なのでいい。$■$

 

 

とりあえずこのぐらいで。