ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

素数が無数に存在することの証明

こんにちは,ぱいです. 無事に院試に合格して,学部最後の夏休みを満喫しています. このあいだ素数が無数に存在することの証明を思いついたので書きます. (あとから人に指摘されて,結局よく知られたものだと分かりアレだったけど) リーマンのゼータ関数 …

代数学の基本定理の(シローの定理やガロア理論を用いた)代数的証明

// // こんにちは,ぱいです. 院試がとりあえず一段落ついて,ほっとしてます. まだ合否発表待ちなのでドキドキしていますが. このあいだ本屋さんをウロウロしていたら「代数学の基本定理」というタイトルの本を見つけました. 代数学の基本定理とは 複素…

ガンマ関数を使ってζ(2n)を求める話

// // こんにちは.ぱいです. このあいだ $\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\cdots$ は $\mathrm{Re}(s)>1$ で収束するということを書きました. 最近,$s=2n\ (n=1,2,\dots)$ に対してその極限が $\displaystyle\z…

Z/nZの単元群の構造の話

こんにちは,ぱいです. 月に1回ぐらいはブログ更新したいなーと思っていて,前に記事を書いてから1か月ぐらい経ちました. 最近ゼミで $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の群構造の勉強をしたので,そのことを書いていきます. $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{…

ベキ級数の収束半径とディリクレ級数の収束軸の話

こんにちは,ぱいです. 最近おもしろいと思ったことを書きます. このごろディリクレ級数と呼ばれる級数を勉強しています. ベキ級数と似た性質やびみょーに異なった性質とかがあって面白いので,ディリクレ級数の話を書く前にベキ級数の話をざーっとおさら…

自然数を見つめ直しました

// // こんにちは,ぱいです. 無事進級できて4回生になりました.ほっとしてます. このあいだ数学の講演をする機会があり,ペアノの公理から出発して自然数の和や積を定義する話をしました. せっかくなので,ここにもそういう話を書いておこうと思います…

1/(1+x^n) の積分の話

こんにちは. ぱいです. 期末試験とかでバタバタしてますが元気に生きてます. 複素関数論の再履のテストを昨日受けてきました. 去年は本当に1ミリも勉強をしていなくて何もわからなかったのですが, 今年はちゃんと勉強しました. 勉強してみると, 一致…

イデアルの準素分解の話

// // こんにちは. 最近は友達とのんびりアティマクを読んでます. このあいだ4章の準素分解のところを発表しました.忘れないうちに何か書こーみたいな感じで何か書いていきます. まず, 準素イデアルの定義. $A$ が環, $\mathfrak{q}$ がそのイデアル…

素イデアルの拡大とか縮約とか

先週から,友達と自主ゼミでアティマク可換代数入門を読み始めた. せっかくだから自分の発表の当番のところをまとめとこうと思う. 発表が終わってから何か気づいたり気づかされたりしたら修正したりするかも. 明日は1.7節「拡大と縮約」のところを発表す…

ベクトル空間とか環上の自由加群とかの基底の元の個数の話

ぱいですこんにちは. 基底の個数の話を知って面白いと思ったので書きます. その前にいろいろ言葉の定義をおさらいしておこうと思います. 足し算や引き算ぽいことができる空間を群と呼んで,しかも演算が可換なら特にアーベル群と呼んだりします. アーベ…

3次方程式と4次方程式を代数的に解こうみたいな話になった

こんにちは,ぱいです. このあいだフォロワーの人が3次方程式を解こうみたいなのやってたのに感化されました. 2次方程式$x^2+ax+b=0$(☆)の解の公式って中学校か高校かで習いますよね. $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$みたいなやつです. これは,☆を$(x+…

ヒルベルトの基底定理

おひさしぶりです. 生きてます. 冬休みぐらいからずっとフラフラ遊んでてあんまり勉強してなかったんですけど,先週ぐらいからまたちょこっと勉強するようになってきた気がします.(自分で言うのもあれだけど.) やってみるとやっぱり数学楽しいので,この…

自然数の個数と実数の個数の話

// // 数学を専門にしていない人(高校で習う集合の簡単な予備知識ぐらいは仮定するかも)向けにおもしろい話をしたいので,僕が数学科で勉強して最初に感動した話を書きます. いろんな集合の要素の個数を比べるっていう話. (この記事では$1$以上の整数を自然数…

ツォルンの補題

こんにちは,ぱいです. 寒いですね.寒いのに雪が降らない. 雪が降れば寒くてもちょっとワクワクするのにね.こんなこと言ったら雪国の人たちに殴られそうだけど. にゃーんって感じです. そういえばなんかツイッターのアカウントが消えてますけどまあ寂しくなっ…

整列可能定理

ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です. www.adventar.org このあいだの記事で整列集合のことを少し書きました. paiotunoowari.hatenadiary.jp $\mathbb{N}$は普通の大小関係で整列集合になってます. $\mathbb{Z}$とかも普通の大小関係は整…

整列集合の定義と比較定理

今度整列可能定理の話とかを書きたいと思ってるので、その準備。 まず、順序集合の定義から。 集合$X$と$X$上の二項関係$\leq$が次の$(1),(2),(3)$を満たすとします。 $(1)\forall x\in X, x\leq x$ $(2)\forall x,y\in X,x\leq y\land y\leq x\Rightarrow x…

ちりも積もれば山となる。

$\int ちりdx=山。$ // //

可算選択公理の実数バージョン(?)

このあいだ書いた記事。 paiotunoowari.hatenadiary.jp この記事で、こんな命題が出てきました。 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$と$\alpha\in\mathbb{R}$ について、$\alpha$に収束する任意の数列$\{x_{n}\}\subseteq\mathbb{R}$で$f(x_{n})$が$f(\alpha)…

選択公理ってなんなんだろう。

// // 突然だけど$X,Y\neq\emptyset$に対して$X\times Y$っていうものが空かどうか考えてみましょう。 まあ$X$も$Y$も空でないってしてあるので当然$x\in X$と$y\in Y$が取れますね。 なので$(x,y)\in X\times Y$となるから$X\times Y$は空でないと分かりま…

ネギネギ

// // $Y←$ねぎ。 $\mathbb{Y}←$白ネギ

位相の定義まとめ。

// // 位相の定義まとめ。(花文字を書く練習。) 集合$X$に対してそのべき集合$\mathscr{P}(X)$の部分集合$\mathscr{O}$で次の(O1)~(O4)をみたすものを考えましょう。 $(O1)\emptyset\in\mathscr{O}$ $(O2)X\in\mathscr{O}$ $(O3)O_{1},...,O_{n}\in\maths…

試し書き。群の定義とかそのへん。

// // 数式とかを書くのに慣れよう~~っていうことで、明日群の定義とかの話をしゃべるので簡単にそういうのをダラダラとまとめていこう、みたいな記事。 定義$1$ 群とは 集合$G\neq\emptyset$上で二項演算$\circ$が定義され、次の$(1)$から$(3)$までが成り…

なんとなくブログ始めてみた。

なんとなく気が向いたのでブログを始めてみました。 ぱいです。 まあなんか数学の面白い話とかあったときにメモしていけたらいいかなーみたいなふうに思ってます。 過去のボクの経験から、更新はたぶん月1回とかになりそう。ゎら