ぱいおつ日記

ぱいおつは終わりました。

級数の足す順番の話

こんにちは,ぱいです.

ツイッターのアカウントが凍結されちゃったけど,小さなアカウントに移行して細々と生きています.

ブログ更新しよう更新しようと思いながらダラダラしてて,ひさしぶりの更新になっちゃいました.

 

このあいだゼミの途中で世間話してて,級数の足す順番を変える話になりました.

絶対収束する級数は足す順番を変えても同じ値に収束することが知られているけど,条件収束のときはどうなるのかという話でした.

面白いと思ったので,忘れないうちにまとめておこうと思ってブログに書きます.

 

 

まずは,言葉の定義をしておきます.

この記事では,数列というと,実数の数列のことをいうことにします.

数列 ${a_{n}}$ の和が絶対収束するとは,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$ が収束することをいいます.

${a_{n}}$ の和が条件収束するとは,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ は収束するが $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$ は収束しないことをいいます.

 

 

たとえば,$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2} \right)^{n}$ は絶対収束します.

 

条件収束する級数の有名な例は,$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}$ です.

$x \neq -1$ に対して\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n=0}^{N}(-x)^{n}=\frac{1-(-x)^{N}}{1+x}\end{eqnarray}より\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{1+x}-\sum_{n=0}^{N}(-x)^{n}=\frac{(-x)^{N}}{1+x}\end{eqnarray}なので,両辺を $0\leq x\leq1$ で積分して\begin{eqnarray}\displaystyle\log 2-\sum_{n=0}{N}\frac{(-1)^{n}}{n+1}=\int_{0}^{1}\frac{(-x)^{N}}{1+x}dx\end{eqnarray}となります.よって\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\log2-\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^{n}}{n+1} \right|&=&\left|\int_{0}^{1}\frac{(-x)^{N}}{1+x} \right|\\&\leq&\int_{0}^{1}x^{N}dx\\& \to&0\hspace{15pt}(N \to\infty)\end{eqnarray}となり,$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}$ は $\log 2$ に収束します.

ところが,$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は発散します.

実際,もしこれがある有限の値 $S$ に収束すると仮定すると\begin{eqnarray}\displaystyle S&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\\&=&\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n} \right)\\&<&\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n} \right)\\&=&S\end{eqnarray} となり矛盾します.

 

 

級数が絶対収束してくれると,いろいろ嬉しいことがあります.

 

まず,絶対収束する級数は収束します.

これは,\begin{eqnarray}\displaystyle|\sum a_{n}|\leq\sum|a_{n}|\end{eqnarray}より分かります.

 

また,$\displaystyle\sum a_{n}$ が絶対収束するとき,${a_{n}}$ を並べ替えて得られる任意の数列 ${b_{n}}$ に対して次のように\begin{eqnarray}\sum b_{n}=\sum a_{n}\end{eqnarray}が分かります.

\[a^{+}_{n}:=\left\{\begin{array}{11}a_{n}&(a_{n}>0)\\0&(a_{n}\leq0)\end{array} \right.\]

\[a^{-}_{n}:=\left\{\begin{array}{11}0&(a_{n}\geq0)\\a_{n}&(a_{n}<0)\end{array} \right.\]

に対して $\displaystyle A^{+}_{N}:=\sum_{n=0}^{N} a^{+}_{n}, A^{-}_{N}:=\sum_{n=0}^{N}a^{-}_{n}$ とおくと,これらはそれぞれある $A^{+}, A^{-}$ に収束し,\begin{eqnarray}\sum a_{n}=A^{+}+A^{-}\end{eqnarray}となります. 

$b^{\pm}_{n}, B^{\pm}_{N}, B^{\pm}$ も同様に定義すると,\begin{eqnarray}\sum b_{n}=B^{+}+B^{-}\end{eqnarray}となります.

$A^{+}_{L}$ に対して $M, N$ を十分大きく取れば\begin{eqnarray}A^{+}_{L}\leq B^{+}_{M}\leq A^{+}_{N}\end{eqnarray}となるので,はさみうちの原理より $B^{+}=A^{+}$ となります.同様に $B^{-}=A^{-}$ です.

よって $\sum b_{n}=\sum a_{n}$ となります.

 

 

このように,絶対収束する級数は足す順番を入れ替えても同じ値に収束してくれるので非常に気持ちよく扱うことができます.

ところが,条件収束だとそうは行きません.

実は,条件収束する級数は,足す順番を入れ替えることで任意の値に収束させることができます.

 

${a_{n}}$ に対して $\sum a_{n}$ が条件収束するとします.

実数 $\alpha$ を任意にとり,和が $\alpha$ に収束するように ${a_{n}}$ を並べ替えてみせます.

 

$\sum a_{n}$ が条件収束するという仮定から,$\sum a^{+}_{n},\ \sum a^{-}_{n}$ は共に発散することが分かります.

そこで,自然数 $N_{k},\ M_{k}\ (k=0, 1, 2, \cdots)$ を次のように定めます.

まず, $\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a^{+}_{n}>\alpha$ なる最小の $N$ をとり,それを $N_{0}$ とします.

そして,$\displaystyle\sum_{n=0}^{N_{0}}a^{+}_{n}+\sum_{m=0}^{M}a^{-}_{m}<\alpha$ なる最小の $M $ をとり,それを $M_{0}$ とします.

$N_{k}, M_{k}$ まで定義されているとき,$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{N_{k}}a^{+}_{n}+\sum_{m=0}^{M_{k}}a^{-}_{m} \right)+\sum_{n=N_{k}+1}^{N}a^{+}_{n}>\alpha$ なる最小の $N$ をとり,それを $N_{k+1}$ とします.

そして,$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{N_{k}}a^{+}_{n}+\sum_{m=0}^{M_{k}}a^{-}_{m} \right)+\sum_{n=N_{k}+1}^{N_{k+1}}a^{+}_{n}+\sum_{m=M_{k}+1}^{M}a^{-}_{m}<\alpha$ なる最小の $M $ をとり,それを $M_{k+1}$ とします. 

 

こうして作った ${N_{k}}, {M_{k}}$ に対して,${a_{n}}$ を\begin{eqnarray}a^{+}_{0},\ a^{+}_{1},\ \cdots,\ a^{+}_{N_{0}},\ a^{-}_{0},\ a^{-}_{1},\ \cdots,\ a^{-}_{M_{0}},\ a^{+}_{N_{0}+1},\ a^{+}_{N_{0}+2},\ \cdots,\ a^{+}_{N_{1}},\ a^{-}_{M_{0}+1},\ a^{-}_{M_{0}+2},\ \cdots,\ a^{-}_{M_{1}},\ \cdots\end{eqnarray}と並べ替えます.

こうして並べ替えた数列の和は,数直線上で $\alpha$ のまわりを行ったり来たりします.

しかも,$\sum a_{n}$ が収束することから $a_{n}$ は $0$ に収束するので,$\alpha$ をまたぐ度に振れ幅は $0$ に近づいていきます.

つまり,この並び替えた数列の和は $\alpha$ に収束します.

 

 

このように,絶対収束しない級数は足す順番を変えると極限が変わってしまう場合があるので,級数の足す順番を好きに変えるときは絶対収束してるかどうか丁寧に確認しないといけないんですね.

 

おしまい.

 

 

フェルマーの最終定理の多項式バージョン

こんにちは,ぱいです.

 

突然ですが,今日,10 月 7 日は何の日か知っていますか?

そうです,みなさんよく知っている通り,今日はフェルマーの最終定理の証明が発表された日です.

1994 年の今日,10 月 7 日に,アンドリュー・ワイルズフェルマーの最終定理の証明を発表しました.

 

フェルマーの最終定理とは,

$3$ 以上の整数 $n$ に対して,\begin{eqnarray}x^{n}+y^{n}=z^{n}\end{eqnarray}をみたすような正の整数 $x,\ y,\ z$ は存在しない

というものです.

 

たとえば $n=1$ の場合とかを考えてみると,$x+y=z$ をみたすような正の整数 $x,\ y,\ z$ は明らかに無数に存在しますね.

 

$n=2$ の場合は,ピタゴラスの定理で,各辺の長さが整数であるような直角三角形は存在するかという問題になりますが,たとえば辺の長さが $3,\ 4,\ 5$ の直角三角形が存在します.

ほかにもこのような直角三角形は存在するのかというのが気になると思いますが,じつはこのような直角三角形で相似でないものは無数に存在することが知られています.

 

$n=1,\ 2$ の場合は $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ をみたす正の整数 $x,\ y,\ z$ は無数に存在するのに,$n\geq 3$ になると急にそういう正の整数は存在しなくなるなんて,ビックリですよね.

フェルマーはこの定理について17世紀に,本の余白に,「真におどろくべき証明を発見したが,それを書くにはこの余白は狭すぎる」とだけ書き残しました.

それ以来数々の数学者たちがこの問題に挑戦しましたが,ワイルズ氏が証明を発表するまで300年以上もの間その証明は謎に包まれたままでした.

ワイルズ氏の証明はめっっっちゃめちゃ難しくてボクには1ミリも分からないので,今日はこの定理の多項式環バージョンのヤツの話を書きます.

 

定理1. $k$ は標数 $0$ の体として $k[X]$ を考える.$n\geq 3$ に対して,\begin{eqnarray}f^{n}+g^{n}=h^{n}\end{eqnarray}の解 $f,\ g,\ h\in k[X]$ は自明なものしか存在しない.

ただし $f,\ g,\ h$ が自明な解であるとは,それらがある共通の多項式の定数倍であることをいう.

 

 

定理1を証明する前に,なぜ急に $k[X]$ とかを考え始めたのかを説明しておきます.

 

$k[X]$ とは $X$ を不定元とする $k$ 係数の多項式全体の集合,つまり\begin{eqnarray}k[X]:=\{a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\mid a_{0},\ a_{1},\cdots,\ a_{n}\in k,\ n\in\mathbb{N}\}\end{eqnarray}のことで,$k$ 上の多項式環と呼ばれます.

$f=a_{n}X^{n}+\cdots+a_{1}X+a_{0}\in k[X]$ で $a_{n}\neq 0$ のとき,$f$ の次数は $n$ であるといい $\deg f=n$ と記します.

$k[X]$ は整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ とよく似たいろいろな性質を持っています.

 

まず,$k[X]$ は普通の足し算と掛け算で環をなします.

つまり,和や積で閉じていて,結合法則や分配法則が成り立ちます.また,加法,乗法の単位元はそれぞれ $0,\ 1$ で,加法については各元に対して逆元が存在します.(乗法については逆元があるとは限りません.たとえば $X$ の逆元は存在しません.)

 

 また,$k[X]$ において余りのある割り算が実行できます.

つまり,任意の $f,\ g\in k[X]$ に対して次のようなある $q,\ r\in k[X]$ が存在します;\begin{eqnarray}f=gq+r,\ \deg r<\deg g\end{eqnarray}

 

$k[X]$ において,ある元の倍数のようなものを考えることができます.

つまり,$f,\ g\in k[X]$ がある $h\in k[X]$ で $f=gh$ をみたすとき,$f$ は $g$ の倍元であるといいます.

$g$ の倍元全体のなす集合を $(g)$ と記します.つまり\begin{eqnarray}(g):=\{gh\mid h\in k[X]\}\end{eqnarray}で,これを $g$ の生成するイデアルといいます.

 

そして,$k[X]$ において素数のようなものも考えることができます.

$f\in k[X]\setminus k$ が最高次の係数が $1$ でどの $g,\ h\in k[X]\setminus k$ でも $f=gh$ と表せないとき,$f$ は $k[X]$ の素元であるといいます.

整数が一意に素因数分解できたように,$k$ 上の多項式も一意に素元分解できることが知られています.

$f\in k[X]$ が $\varepsilon\in k\setminus\{0\}$ と素元 $p_{1},\cdots,\ p_{n}\in k[X]$,正整数 $e_{1},\cdots,\ e_{n}$ を用いて $f=\varepsilon p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}$ と表されるとき,\begin{eqnarray}\mathrm{rad}f:=\varepsilon p_{1}\cdots p_{n}\end{eqnarray} を $f$ の根基といいます.

 

このように.多項式環は整数とよく似た性質をもっています.

 

 

定理1を証明するために ABC 定理と呼ばれる次の定理を使うと便利です.

 

定理2.(ABC 定理)

$A,\ B,\ C\in k[X]$ はすべてが定数ではなく,どれも互いに素で,$A+B=C$ をみたすとする.このとき,$D=AB'-A'B$ とおくと\begin{eqnarray}\max\{\deg A,\ \deg B,\ \deg C\}+\deg D<\deg ABC\leq\deg D+\deg\mathrm{rad}ABC\end{eqnarray}が成り立つ.よって,特に\begin{eqnarray}\max\{\deg A,\ \deg B,\ \deg C\}<\deg\mathrm{rad}ABC\end{eqnarray}が成り立つ.

 

上に出てきた記号 $'$ は形式的微分を表します.つまり,\begin{eqnarray}f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{1}X+a_{0}\in k[X]\end{eqnarray}に対して\begin{eqnarray}f':=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots+a_{2}X+a_{1}\end{eqnarray}を $f$ の形式的微分といいます.

 

形式的微分は,中学校や高校で習った普通の微分と似たような基本的な性質が成り立ちます.

つまり,$f,g\in k[X]$ について次が成り立ちます.

・$f'=0\ \Leftrightarrow\ f\in k$.

・$f$ が定数でなければ,$\deg f'=\deg f-1$.

・$(af+bg)'=af'+bg'\ (a,\ b\in k)$.

・$(fg)'=f'g+fg'$.

また,上の性質から次のような性質も導かれます.

・$g\in(f^{n})\ \Rightarrow\ g'\in(f^{n-1})$.

・$fg'=f'g\ \Leftrightarrow\ f$ は $g$ の定数倍.

 

ABC 定理を証明するために補題を用意しておきます.

 

補題3.$A,\ B,\ C\in k[X]$ はすべてが定数ではなく,どれも互いに素で,$A+B=C$ をみたすとする.このとき,$D:=AB'-A'B$ とすると,\begin{eqnarray}D\neq0\end{eqnarray}が成り立つ.また,$\displaystyle A_{1}:=\frac{A}{\mathrm{rad}A},\ B_{1}:=\frac{B}{\mathrm{rad}B},\ C_{1}:=\frac{C}{\mathrm{rad}C}$ とおくと\begin{eqnarray}D\in(A_{1})\cap(B_{1})\cap(C_{1})=(A_{1}B_{1}C_{1})\end{eqnarray}が成り立つ.

 

(証明)

$D\neq 0$ は,さっきの形式的微分の性質の最後のやつから従う.

また,さっきの形式的微分の最後から2番目のやつから $D\in(A_{1})$ も従う.

$D=AC'-A'C=CB'-C'B$ だから,同様に $D\in(B_{1})$ と $D\in(C_{1})$ も従う. $■$

 

(定理2の証明)

まず1つめの不等号を示す.

$D=AB'-A'B$ より\begin{eqnarray}\deg D&\leq&\deg A+\deg B -1\\ &\leq&\deg AB-1\end{eqnarray}なので,\begin{eqnarray}\deg C+\deg D&\leq&\deg C+\deg AB-1\\&<&\deg ABC\end{eqnarray}が成り立つ.$D=AC'-A'C=CB'-C'B$ より同様に\begin{eqnarray}deg{A}+\deg D&<&\deg ABC\\ \deg B+\deg D&<&\deg ABC\end{eqnarray}も成り立つ.よって\begin{eqnarray}\max\{\deg A,\ \deg B,\ \deg C\}+\deg D<\deg ABC\end{eqnarray}が成り立つ.

次に2つめの不等号を示す.

補題3よりある $E\in k[X]$ で $D=EA_{1}B_{1}C_{1}$ と表せるので,$A,\ B,\ C$ がどれも互いに素であることに注意して\begin{eqnarray}\displaystyle D=\frac{EABC}{\mathrm{rad}ABC}\end{eqnarray}つまり\begin{eqnarray}D\mathrm{rad}ABC=EABC\end{eqnarray}が成り立つ.よって\begin{eqnarray}\deg D+\deg\mathrm{rad}ABC=\deg E+\deg ABC\end{eqnarray}が成り立ち,\begin{eqnarray}\deg D+\deg\mathrm{rad}ABC\geq\deg ABC\end{eqnarray}が成り立つ. $■$

 

 

さて,いよいよ定理1を証明します.背理法を使います.

 

(定理1の証明)

非自明な解 $f,\ g,\ h\in k[X]$ が存在すると仮定する.

$A=f^{n},\ B=g^{n},\ C=h^{n}$ とおくと,この $A,\ B,\ C$ は ABC 定理の仮定をみたすので,\begin{eqnarray}\max\{\deg A,\ \deg B,\ \deg C\}<\deg\mathrm{rad}ABC\end{eqnarray}が成り立つ.ここで,\begin{eqnarray}\deg\mathrm{rad}ABC&=&\deg\mathrm{rad}f^{n}g^{n}h^{n}\\ &\leq&\deg fgh\\ &=&\deg f+\deg g+\deg h\end{eqnarray}なので,\begin{eqnarray}\max\{n\deg f,\ n\deg g,\ n\deg h\}<\deg f+\deg g+\deg h\end{eqnarray}が成り立つ.よって\begin{eqnarray}n\deg f&<&\deg f+\deg g+\deg h\\ n\deg g&<&\deg f+\deg g+\deg h\\ n\deg h&<&\deg f+\deg g+\deg h\end{eqnarray}が成り立ち,これらの辺々を足して\begin{eqnarray}n(\deg f+\deg g+\deg h)<3(\deg f+\deg g+\deg h)\end{eqnarray}つまり\begin{eqnarray}n<3\end{eqnarray}が成り立つ.ところがこれは $n\geq 3$ と矛盾する.

よって,非自明な解 $f,\ g,\ h\in k[X]$ は存在しない. $■$

 

 

整数の場合にも定理2と似たような abc 予想というものがあり,それを使うと十分大きな $n$ に対してフェルマーの最終定理が証明できるらしいです.

abc 予想は 2012 年に京大の望月先生が証明を発表したけどめちゃめちゃ難しくて,多分まだ検証中らしいです.(あんまり詳しくないのであんまりよく知らないけど.)

 

整数だとめちゃめちゃ難しいのに多項式環だとわりと簡単なの,なんだか面白いですね.

おしまい.

 

 

素数が無数に存在することの証明

こんにちは,ぱいです.

無事に院試に合格して,学部最後の夏休みを満喫しています.

 

 

このあいだ素数が無数に存在することの証明を思いついたので書きます.

(あとから人に指摘されて,結局よく知られたものだと分かりアレだったけど)

 

 

リーマンのゼータ関数 $\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\cdots$ は変形すると素数を用いて次のように表せます.

\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(s)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\\&=&\sum_{e_{1},\ e_{2},\cdots\geq0}\ \prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{p_{i}^{e_{i}s}}\\&=&\prod_{p_{i}:prime}\ \sum_{e_{i}=0}^{\infty}\frac{1}{p_{i}^{e_{i}s}}\\&=&\prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{1-p_{i}^{-s}}\end{eqnarray}

(こういう表示をオイラー積表示といいます)

 

よって,もし素数が有限個しか存在しないと仮定したら\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2)=\prod_{p_{i}:prime}\frac{1}{1-p_{i}^{-2}}\end{eqnarray}は有理数になります.

ところが,$\zeta(2)$ の値を求めるとこのあいだの記事でも書いたように \begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}\end{eqnarray}で,これは無理数であることが知られています.

これは矛盾しているので,素数は無数に存在するということになります.

 

 

フォロワーに教えてもらったのですが,$\displaystyle\zeta(1)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$ が発散することを使うほうがもっと簡単でした()

 

おしまい.

 

代数学の基本定理の(シローの定理やガロア理論を用いた)代数的証明

こんにちは,ぱいです.

院試がとりあえず一段落ついて,ほっとしてます.

まだ合否発表待ちなのでドキドキしていますが.

 

このあいだ本屋さんをウロウロしていたら「代数学の基本定理」というタイトルの本を見つけました.

代数学の基本定理とは

複素数係数の多項式は必ず複素数の根をもつ

という定理です.

たとえば複素数係数の2次多項式 $ax^{2}+bx+c$ の場合は,これは $\mathbb{C}$ において根 $\displaystyle\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ を持ちますよね.

代数学の基本定理は,このような複素数係数の多項式は2次以外の場合でも(具体的な根が求められるかどうかは別として)複素数の範囲で根を持つという主張です.

その完全な証明は18世紀にガウスが初めて与えたといわれています.

この本はその代数学の基本定理のいろいろな観点からの異なる証明がひたすら書いてあり,面白そうだったのでつい衝動買いしてしまいました.

でも,買っただけで満足してしまったというわけではないのですが,ゼミやら院試やらで忙しくてなかなか読むひまがなくてずっと本棚に眠らせてしまっていました(あるあるですよね).

ゼミや院試に区切りがついたので最近やっとパラパラと目を通しているのですが,やっぱり面白いです.

数えてみると,微積や位相とかを駆使して,11種類もの異なる証明が載っていました.

しかもその証明に使われる分野の基礎事項のちょっとした解説とかも載っていて,これはもしかすると院試前に読んでいれば良い試験勉強になったのかもしれないなと思いました.

まあもう終わったことなので,そんなこと考えても仕方ありませんが(笑)

 

さて,せっかくなので,この本のなかで僕が特に面白いと感じた証明をこのブログにまとめておきます.

 

 

その前にまずは,代数学の基本定理よりも弱い,

奇数次数の実数係数多項式は必ず実数の根をもつ

という命題を考えてみましょう.

$f(x)$ を奇数次数の実数係数多項式とすると,$f(x)$ の最高次の係数は正としてよくて,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ なので中間値の定理から $f(x)$ は実根をもちます.

 

これは中間値の定理,つまり実数の連続性から示されていて,その流れで代数学の基本定理微積や位相を使って証明することができます.

僕は今までそういうのを使った証明しか知りませんでした.

それで,代数学の基本定理なんていう名前なのに証明に代数を全然使わないのがなんだかムズムズするな~~~と思っていました.

そこで代数を使った証明に出会って感動したので,その証明を紹介します.

 

その証明の中で群論や体論を使うので,それらについて軽く復習しておきます.

 

 

まずは群論の必要な部分を抜粋しておさらいします.

 

集合 $G$ に結合法則をみたす2項演算が入っていて単位元や各元の逆元が存在するとき,$G$ は群であるといいます.

$G$ の演算が交換法則もみたすときは $G$ をアーベル群といいます.

群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ と同じ演算で群になるとき,$H$ は $G$ の部分群であるといいます.

群 $G$ の元の個数を $G$ の位数と呼び,$|G|$ で表します.

 

素数 $p$ と正の整数 $n$ で $|G|=p^{n}$ のとき,$G$ を$p$群と呼びます.

$|G|=p^{n}$ のとき $G$ は位数 $p^{n-1}$ の部分群をもつことが知られています.

これは,$G$ の中心による剰余群とかを考えて数学的帰納法で示すことができます.

 

$|G|=p^{n}a$ ($p$:素数,$p$ と $a$ は互いに素) のとき,位数 $p^{n}$ の部分群を$p$シロー部分群と呼びます.

$|G|=p^{n}a$ のとき $G$ は必ず$p$ シロー部分群をもち,その個数は $p$ で割ると $1$ あまりかつ $a$ の約数であることが知られています.

また,$G$ の$p$部分群はある$p$シロー部分群の部分群となります.

これらの結果はシローの定理と呼ばれています.(冗長になるので証明は略.)

 

 

次は体論をザッとおさらいしましょう.

 

集合 $K$ が加法,乗法と呼ばれる2種類の演算をもち, 加法について $K$ はアーベル群とし,単位元を $0$ とします.$K\setminus\{0\}$ が乗法で群となり,分配法則も成り立つとき,$K$ を体といいます.

 

$L$ が体でその部分集合 $K$ が同じ演算で体となるとき, $K$ は $L$ の部分体であるといいます.またこのとき $L$ は $K$ の拡大体であるといい,このことを $L/K$ が体の拡大であるといいます.

$L/K$ が体の拡大で $K\subset M\subset L$ で $M $も同じ演算で体のとき,$M $ は $L/K$ の中間体であるといいます.

$L/K$ が体の拡大のとき $L$ の$K$線形空間としての次元を拡大の次数と呼び $[L:K]$ と書き,$[L:K]=d<\infty$ のとき $L/K$ は $d$ 次拡大であるといいます.

$M $ が $L/K$ の中間体のとき,拡大次数が有限なら\begin{eqnarray}[L:K]=[L:M][M:K]\end{eqnarray}が成り立ちます.

 

$L/K$ が体の拡大で,任意の $x\in L$ がある $K$ 上多項式の根となるとき,$L/K$ は代数拡大であるといいます. 

$L/K$ が代数拡大で $\alpha\in L$ のとき,$K$ 上1変数有理式に $\alpha$ を代入したものの全体を $K(\alpha)$ と記すと $K(\alpha)$ は $K$ の拡大体であり,$K(\alpha)/K$ を単純拡大といいます.

また,単純拡大 $K(\alpha)$ の $\alpha$ を原始元といいます.

 

原始元 $\alpha$ に対して,$\alpha$ を根にもつ $K$ 上多項式で零でないもののうち次数が最小のものを $\alpha$ の $K$ 上最小多項式と呼び,これは $K[x]$ において既約です.

単純拡大 $K(\alpha)/K$ の拡大次数と $\alpha$ の$K$ 上最小多項式 $f(x)$ の次数について\begin{eqnarray}[K(\alpha):K]=\deg f(x)\end{eqnarray}が成り立ちます.

 

 

ここからはガロア理論の基本定理を目標におさらいをしていきますが,冗長になるためこれも証明は略します.

 

$L/K$ が体の拡大で $K$ 上の多項式が必ず $L$ で根をもつとき,$L$ は $K$ の代数閉包であるといいます.

$f(x)\in K[x]$ が $K$ の代数閉包で重根をもたないとき,$f(x)$ は $K$ 上の分離多項式であるといいます.

$L/K$ が代数拡大で任意の $\alpha\in L$ の最小多項式が分離多項式のとき,$L/K$ を分離拡大といいます.

有限次分離拡大は必ず単純拡大となることが知られています.

また,標数 $0$ の体の有限次拡大は必ず分離拡大であることも知られており,$\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$,またこれらの拡大も標数は $0$ です.

 

$L/K$ が代数拡大で任意の $\alpha$ の $K$ 上最小多項式 $f(x)$ の根がすべて $L$ に含まれるとき,$L/K$ を正規拡大といいます.

 

分離的な有限次正規拡大のことを,ガロア拡大といいます. 

つまり,標数 $0$ の体においてガロア拡大とは有限次正規拡大のことです.

$L/K$ がガロア拡大のとき,$K$ を固定する $L$ の自己同型写像全体の集合を $\mathrm{Gal}(L/K)$ と記します.

$\mathrm{Gal}(L/K)$ は群となるので,これをガロア拡大 $L/K$ のガロア群と呼びます.

$\mathrm{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して,任意の $σ\in H$ で $σ(x)=x$ となるような $x\in L$ の全体の集合を $L^{H}$ と記すと,これは $L/K$ の中間体となり,これを $H$ の不変体といいます.

$L/K$ が代数拡大で,$L$ のすべての元の $K$ 上最小多項式の代数閉包における根をすべて $L$ に付け加えて作った体を $\tilde{L}$ と記すと,$\tilde{L}$ は$K$ のガロア拡大体となり,これを $L/K$ のガロア閉包といいます.

 

$L/K$ をガロア拡大とすると,$L/K$の任意の中間体 $M $ に対して $L/M $ もガロア拡大となります. 

$G=\mathrm{Gal}(L/K)$ とおくと,ガロア群 $G$ の部分群全体とガロア拡大 $L/K$ の中間体全体との間には\begin{eqnarray}H\longleftrightarrow L^{H}\end{eqnarray}という1対1対応があります.

また,ガロア群の位数とガロア拡大の次数の間には\begin{eqnarray}|G|=[L:K]\end{eqnarray}という関係があります.

そして,ガロア群の部分群 $H$ と対応する中間体 $L^{H}$ の拡大次数との間には\begin{eqnarray}[L^{H}:K]=|G|/|H|\end{eqnarray}という関係が成り立ちます.

これらの結果は,ガロア理論の基本定理と呼ばれています.

 

 

さて,以上の道具を使って代数学の基本定理を証明します.

そのための準備として,$\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ の拡大について,次の(1),(2)を示しておきます.

(1) $\mathbb{R}$ の非自明な有限次拡大は偶数次数である.

(2) $\mathbb{C}$ は2次拡大をもたない.

 

(1)

$\mathbb{R}$ の非自明な有限次拡大 $K$ を任意にとり,拡大次数を $[K:\mathbb{R}]=2^{n}q$ ($q$:奇数) とします.

$K/\mathbb{R}$ は有限次分離拡大ゆえ単純拡大なので,ある $\alpha$ で $K=\mathbb{R}(\alpha)$ となります.

$\alpha$ の $\mathbb{R}$ 上最小多項式を $f(x)$ とすると $\deg f(x)=[K:\mathbb{R}]=2^{n}q$ です.

もし $n=0$ と仮定すると $\deg f(x)=q$ は奇数だが,奇数次数の $\mathbb{R}$ 上多項式は必ず実根をもつので,$f(x)$ が既約となるのは $q=1$ の時のみです.

ところがこのとき $\alpha\in\mathbb{R}$ となり $K=\mathbb{R}$ となるので矛盾します.

よって $n\neq 0$ となります.■

 

(2)

2次拡大 $K/\mathbb{C}$ が存在すると仮定します.

このとき,(1)の証明と同様にしてある $\alpha$ で $K=\mathbb{C}(\alpha)$ となり,$\alpha$ の $\mathbb{C}$ 上最小多項式を $f(x)$ とすると $\deg f(x)=2$ となります.

ところが最初に例で見たように複素数上の2次多項式は $\mathbb{C}$ に根を持つので $K=\mathbb{C}$ となり矛盾します.

よって $\mathbb{C}$ は2次拡大をもちません.■

 

 

ではいよいよ,代数学の基本定理を証明します.

 

$\mathbb{C}$ 上の多項式 $f(x)$ を任意にとり, $f(x)$ の根をすべて含むような最小の体を $K$ とします.

$K=\mathbb{C}$ を示せばよいです.

 

$K/\mathbb{R}$ のガロア閉包を $\tilde{K}$ とおくと,$\tilde{K}/\mathbb{R}$ はガロア拡大だからガロア理論の基本定理より $\tilde{K}/\mathbb{C}$ もガロア拡大です.

(1) より $\tilde{K}/\mathbb{R}$ の拡大次数は $[\tilde{K}:\mathbb{R}]=2^{n}q$ ($n>0$, $q$:奇数) と表せます.

$\tilde{K}/\mathbb{R}$ のガロア群を $G=\mathrm{Gal}(\tilde{K}/\mathbb{R})$ とおくと ガロアの基本定理より $|G|=[\tilde{K}:\mathbb{R}]=2^{n}q$ となります.

よって,シローの定理より $G$ は$2$シロー部分群 $H$, $|H|=2^{n}$ を持ちます. 

この部分群 $H$ には中間体 $\tilde{K}^{H}$ が対応していて,$\tilde{K}^{H}/\mathbb{R}$ の拡大次数をガロア理論の基本定理を用いて求めると\begin{eqnarray}[\tilde{K}^{H}:\mathbb{R}]&=&|G|/|H|\\&=&q\end{eqnarray}となります.

よって (1) から $q=1$ となり,$\tilde{K}^{H}=\mathbb{R}$, $|G|=[\tilde{K}:\mathbb{R}]=2^{n}$ となります.

したがって $\tilde{K}/\mathbb{C}$ の拡大次数は\begin{eqnarray}[\tilde{K}:\mathbb{C}]&=&[\tilde{K}:\mathbb{R}]/[\mathbb{C}:\mathbb{R}]\\&=&2^{n-1}\end{eqnarray}となります.

(2) より $\mathbb{C}$ は2次拡大を持たないので,$n\neq 2$,つまり $n=1$ または $n>2$ です.

ここで $n>2$ と仮定します.

$\mathrm{\tilde{K}/\mathbb{C}}$ のガロア群を $G_{1}=\mathrm{Gal}(\tilde{K}/\mathbb{C})$ とおくと,ガロア理論の基本定理より\begin{eqnarray}|G_{1}|&=&[\tilde{K}:\mathbb{C}]\\&=&2^{n-1}\end{eqnarray}です.

よって $G_{1}$ は位数 $2^{n-2}$ の部分群 $H_{1}$ を持ちます.

ガロア理論の基本定理よりこの $H_{1}$ は中間体 $\tilde{K}^{H_{1}}$ と対応していて\begin{eqnarray}[\tilde{K}^{H_{1}}:\mathbb{C}]&=&|G_{1}|/|H_{1}|\\&=&2\end{eqnarray}となります.

ところがこれは (2) と矛盾しています.

よって $n=1$ となり,$\tilde{K}/\mathbb{C}$ は自明な拡大となります.

したがって $\tilde{K}=\mathbb{C}$ となり $K=\mathbb{C}$ が得られました.■

 


これで証明はおしまいです.

奇数次の実数係数多項式が実根をもつという部分に目をつむればだいたい代数の言葉で証明が出来て,なんだか嬉しいですね. 

 

 

参考文献

[1] Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard. (2002)『代数学の基本定理』(新妻弘・木村哲三訳) 共立出版

[2]雪江明彦(2013)『整数論1: 初等整数論からp進数へ』日本評論社

 

ガンマ関数を使ってζ(2n)を求める話

こんにちは.ぱいです. 

 

このあいだ $\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\cdots$ は $\mathrm{Re}(s)>1$ で収束するということを書きました.

最近,$s=2n\ (n=1,2,\dots)$ に対してその極限が

$\displaystyle\zeta(2n)=\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\cdots=\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n} \tag{1}$

となるということを勉強して面白いと思ったので,今日はそれを書きます.

 

 

(1)に現れる $B_{n}$ はベルヌーイ数と呼ばれるもので,

$\displaystyle\frac{t}{e^{t}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}t^{k} \tag{2}$

で定義されます.

$\displaystyle\frac{t}{e^{t}-1}$ の極は $t=2n\pi i\ (n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ のみなので,ベキ級数の収束円盤は $|t|<2\pi$ です.

$\displaystyle\frac{t}{e^{t}-1}$ を具体的にベキ級数展開してみると

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{t}{e^{t}-1}&=&\frac{t}{t+\frac{1}{2!}t^{2}+\frac{1}{3!}t^{3}+\cdots}\\&=&\frac{1}{1+\frac{1}{2!}t+\frac{1}{3!}t^{2}+\cdots}\\&=&1-\left(\frac{1}{2!}t+\frac{1}{3!}t^{2}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2!}t+\frac{1}{3!}t^{2}+\cdots\right)^{2}-\left(\frac{1}{2!}t+\frac{1}{3!}t^{2}+\cdots\right)^{3}+\cdots\\&=&1-\frac{1}{2}t+\frac{1}{12}t^{2}+0\cdot t^{3}-\frac{1}{720}t^{4}+\cdots\end{eqnarray}

となります.

 

奇数番目のベルヌーイ数は $\displaystyle B_{1}=-\frac{1}{2}$ を除いてすべて $0$ です.

実際,\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{t}{e^{t}-1}-\frac{-t}{e^{-t}-1}&=&\frac{t}{e^{t}-1}-\frac{-te^{t}}{1-e^{t}}\\&=&\frac{t\left(1-e^{t}\right)}{e^{t}-1}\\&=&-t\end{eqnarray}より\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}t^{k}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}(-t)^{k}=-t\end{eqnarray}つまり \begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}\left(1-(-1)^{k}\right)t^k=-t\end{eqnarray} なので,$k\geq 2$ に対して $B_{k}\left(1-(-1)^{k}\right)=0$ となります.

 

ベルヌーイ数を計算するには,漸化式\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{}_{n}\mathrm{C}_{k}B_{k}=(-1)^{n}B_{n}\end{eqnarray}が便利です.この漸化式は次の母関数の係数を比較して得られます;

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}B_{n}\frac{t^{n}}{n!}&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}(-t)^{n}\\&=&\frac{-t}{e^{-t}-1}\hspace{15pt}(|t|<2\pi)\\&=&\frac{t}{e^{t}-1}\cdot e^{t}\\&=&\left(\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B_{l}}{l!}t^{l}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}t^{m}\right)\\&=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{B_{k}}{k!}\cdot\frac{1}{(n-k)!}\right)t^{n}\\&=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\ B_{k}\right)\frac{t^{n}}{n!}\end{eqnarray}

 

 

さて,(1)を証明するために$\Gamma$関数というものを使うので,それについて説明しておきます.

 

$\Gamma$関数とは階乗 $n\mapsto n!$ の補間関数のことで,

$\displaystyle\Gamma(s):=\lim_{N\to\infty}\frac{N^{s}(N-1)!}{s(s+1)\cdots(s+N-1)}\hspace{10pt}(s\neq 0,-1,-2,\dots)\tag{3}$ 

で定義されます.

$\displaystyle\Gamma_{N}(s):=\frac{N^{s}(N-1)!}{s(s+1)\cdots(s+N-1)}$ とおくと\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\Gamma_{N+1}(s)}{\Gamma_{N}(s)}&=&\frac{(N+1)^{s}N}{N^{s}(s+N)}\\&=&\left(1+\frac{1}{N}\right)^{s}\left(1+\frac{s}{N}\right)^{-1}\\&=&\left(1+\frac{s}{N}+O\left(\frac{1}{N^{2}}\right)\right)\left(1-\frac{s}{N}+O\left(\frac{1}{N^{2}}\right)\right)\\&=&1+O\left(\frac{1}{N^{2}}\right)\end{eqnarray} より $\displaystyle\prod_{N=1}^{\infty}\frac{\Gamma_{N+1}(s)}{\Gamma_{N}(s)}$ は収束して,(3)は $\displaystyle\Gamma_{1}(s)\prod_{N=1}^{\infty}\frac{\Gamma_{N+1}(s)}{\Gamma_{N}(s)}$ に収束します.

余談ですが,\begin{eqnarray}\displaystyle\int_{0}^{N}\left(1-\frac{t}{N}\right)^{N}t^{s-1}\mathrm{d}t=\frac{N}{N+s}\Gamma_{N}(s)\end{eqnarray}が成り立ち(3)は $\mathrm{Re}(s)>0$ で収束する広義積分 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{s-1}\mathrm{d}t$ と一致することが知られています.

 

この$\Gamma$関数は,階乗の最も基本的な性質 $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ と似たように \begin{eqnarray}\displaystyle\Gamma(s+1)&=&\lim_{N\to\infty}\frac{N^{s+1}(N-1)!}{(s+1)(s+2)\cdots(s+N)}\\&=&\lim_{N\to\infty}\frac{sN^{s}N!}{s(s+1)(s+2)\cdots(s+N)}\\&=&\lim_{N\to\infty}\frac{s(N+1)^{s}N!}{s(s+1)(s+2)\cdots(s+N)}\cdot\frac{N^{s}}{(N+1)^{s}}\\&=&s\lim_{N\to\infty}\Gamma_{N+1}(s)\lim_{N\to\infty}\left(\frac{N}{N+1}\right)^{s}\\&=&s\Gamma(s)\end{eqnarray}という性質を持ちます.

ここで $\displaystyle\Gamma(1)=\lim_{N\to\infty}\frac{N\cdot(N-1)!}{1\cdot 2\cdot\cdots\cdots N}=1$ より帰納的に\begin{eqnarray}\Gamma(n)=(n-1)!\hspace{10pt}(n=1,2,3,\dots)\end{eqnarray}となります. 

 

$\Gamma$関数の対数は,オイラー定数 $\displaystyle\gamma=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\log{N}\right)$ を用いて

$\displaystyle\log\Gamma(1+s)=-\gamma s+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta(k)}{k}s^{k}\hspace{10pt}(|s|<1)\tag{4}$ 

と表せます. 

これは,(3)を変形して $\displaystyle\Gamma(1+s)=s\Gamma(s)=\lim_{N\to\infty}\frac{N^{s}}{\left(\frac{s}{1}+1\right)\left(\frac{s}{2}+1\right)\cdots\left(\frac{s}{N-1}+1\right)}$ として対数をとり\begin{eqnarray}\displaystyle\log\Gamma(1+s)&=&\lim_{N\to\infty}\left(s\log{N}-\sum_{n=1}^{N-1}\log\left(1+\frac{s}{n}\right)\right)\\&=&\lim_{N\to\infty}\left(s\log{N}-\sum_{n=1}^{N-1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k- 1}}{kn^{k}}s^{k}\right)\right)\\&=&\lim_{N\to\infty}\left(s\log{N}+\sum_{n=1}^{N-1}\left(-\frac{1}{n}s+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-s)^{k}}{kn^{k}}\right)\right)\\&=&-\gamma s+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-s)^{k}}{kn^{k}}\\&=&-\gamma s+\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-s)^{k}}{kn^{k}}\\&=&-\gamma s+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-s)^{k}}{k}\zeta(k)\end{eqnarray}で得られます.

途中の二重級数の極限交換は,\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-s)^{k}}{kn^{k}}\right|&=&\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(k)}{k}|s|^{k}\\&\leq&\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(2)}{k}|s|^{k}\\&=&\zeta(2)\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}|s|^{k}\end{eqnarray}

で $\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}|s|^{k}$ が $|s|<1$ で収束することから許されます. 

 

また,$\Gamma$関数について相補公式と呼ばれる公式\begin{eqnarray}\displaystyle\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin{\pi s}}\hspace{10pt}(s\notin\mathbb{Z})\end{eqnarray}があり,これを少し変形すると

$\displaystyle\Gamma(1+s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi s}{\sin{\pi s}}\hspace{10pt}(s\notin\mathbb{Z})\tag{5}$

となります.

これは,(3)の変形 $\displaystyle\Gamma(1+s)=\lim_{N\to\infty}\frac{N^{s}}{\prod_{n=1}^{N-1}\left(1+\frac{s}{n}\right)}$ と有名な公式 $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{s^{2}}{n^{2}}\right)=\frac{\sin{\pi s}}{\pi s}$ を用いて\begin{eqnarray}\displaystyle\Gamma(1+s)\Gamma(1-s)&=&\lim_{N\to\infty}\frac{N^{s}}{\prod_{n=1}^{N-1}\left(1+\frac{s}{n}\right)}\cdot\lim_{N\to\infty}\frac{N^{-s}}{\prod_{n=1}^{N-1}\left(1+\frac{-s}{n}\right)}\\&=&\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\prod_{n=1}^{N-1}\left(1-\frac{s^{2}}{n^{2}}\right)}\\&=&\frac{\pi s}{\sin{\pi s}}\end{eqnarray} で得られます.

余談ですが,相補公式に $\displaystyle s=\frac{1}{2}$ を代入したりして $\displaystyle\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ などが得られたりします.

 

 

さて,いよいよ(1)の公式を証明します.

$|s|<1$ で母関数 $\displaystyle G(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}\cdot s^{2n}$ を考えると,\begin{eqnarray}\displaystyle G(s)&=&-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}}{(2n)!}(2\pi si)^{2n}\right)\\&=&-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}(2\pi si)^{n}-\frac{B_{0}}{0!}(2\pi si)^{0}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{2n+1}}{(2n+1)!}(2\pi si)^{2n+1}\right)\\&=&-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}(2\pi si)^{n}-\frac{B_{0}}{0!}(2\pi si)^{0}-\frac{B_{1}}{1!}(2\pi si)^{1}\right)\hspace{10pt}(\because\forall n\geq 1,B_{2n+1}=0)\\&=&-\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi si}{e^{2\pi si}-1}-1+\pi si\right)\hspace{10pt}(\because(2))\\&=&\frac{1}{2}-\frac{\pi si}{2}\left(\frac{2}{e^{2\pi si}-1}+1\right)\\&=&\frac{1}{2}-\frac{\pi si}{2}\frac{e^{\pi si}+{e^{-\pi si}}}{e^{\pi si}-e^{-\pi si}}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{\pi si}{2}\frac{\ \cos{\pi s}}{i\sin{\pi s}}\\&=&\frac{s}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{\pi\cos{\pi s}}{\ \sin{\pi s}}\right)\\&=&\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\log{\pi s}-\log{\sin{\pi s}}\right)\\&=&\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\log{\frac{\pi s}{\sin{\pi s}}}\\&=&\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\log(\Gamma(1+s)\Gamma(1-s))\hspace{10pt}(\because(5))\\&=&\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(\log\Gamma(1+s)+\log\Gamma(1-s))\\&=&\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\left(-\gamma s+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)}{n}(-s)^{n}\right)+\left(\gamma s+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)}{n}s^{n}\right)\right)\hspace{10pt}(\because(4))\\&=&s\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{2n}s^{2n}\right).\end{eqnarray}

ここで $\displaystyle f(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\zeta(2n)}{2n}s^{n}\right|$ とすると\begin{eqnarray}\displaystyle f(s)&\leq&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2)}{2n}|s|^{n}\\&=&\frac{\zeta(2)}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}|s|^{n}\end{eqnarray}で,$s=0$ を中心とする $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}|s|^{n}$ の収束半径は $1$ だから,$f(s)$ の収束半径は $1$ 以上です.

よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{2n}s^{2n}$ も $|s|<1$ で収束し項別微分でき,\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{2n}s^{2n}&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{\zeta(2n)}{2n}s^{2n}\\&=&\sum_{n=1}^{\infty}\zeta(2n)s^{2n-1}\end{eqnarray}となります.

従って\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}s^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}\zeta(2n)s^{2n}\end{eqnarray}となり,係数を比較して\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2n)=\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}\pi^{2n}\end{eqnarray}を得ます.

 

この公式の $n$ に具体的な値を代入して例えば\begin{eqnarray}\displaystyle\zeta(2)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots=\frac{1}{6}\pi^{2}\end{eqnarray}とかが分かります.

 

$\displaystyle\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\cdots$ と足していくと突然 $\pi$ が現れるのも面白いし,$\pi$ の指数が $2n$ で揃ってるのも綺麗だと感じました.

おしまい.

 

 

参考文献

[1] D. B. ザギヤー (1990) 『数論入門 -ゼータ関数と2次体-』(片山孝次訳) 岩波書店

[2] 杉浦光夫 (1980) 『解析入門I』 東京大学出版会

 

Z/nZの単元群の構造の話

こんにちは,ぱいです.

月に1回ぐらいはブログ更新したいなーと思っていて,前に記事を書いてから1か月ぐらい経ちました.

最近ゼミで $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の群構造の勉強をしたので,そのことを書いていきます.

 

 

$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{t}^{a_{t}}$ と因数分解されているとき中国剰余定理により

\begin{eqnarray}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong(\mathbb{Z}/p_{1}^{a_{1}}\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/p_{2}^{a_{2}}\mathbb{Z})\times\dots\times(\mathbb{Z}/p_{t}^{a_{t}}\mathbb{Z})\end{eqnarray}

という環の同型があるので,単元群について次のような同型が成り立ちます;

\begin{eqnarray}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\cong(\mathbb{Z}/p_{1}^{a_{1}}\mathbb{Z})^{\times}\times(\mathbb{Z}/p_{2}^{a_{2}}\mathbb{Z})^{\times}\times\dots\times(\mathbb{Z}/p_{t}^{a_{t}}\mathbb{Z})^{\times}\end{eqnarray}

よって,$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の群構造を考えるには,素数 $p$ で $(\mathbb{Z}/p^{a}\mathbb{Z})^{\times}$ の構造を調べれば十分です. 

 

 

まずは,シンプルな $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ を考えてみましょう.

そのために,いくつか準備をしておきます.

 

命題1.(フェルマーの小定理)  $p\nmid a$ なら $a^{p-1}\equiv1\bmod p$ が成り立つ.

(証明)

$a$ に関する帰納法で $a^{p}\equiv a\bmod p$ が示せる.$■$

 

命題2.$k$ が体で $f(x)\in k[x]$ の次数が $n$ なら,$f$ の $A$ における根は高々 $n$ 個しかない.

(証明)

$n$ に関する帰納法で,因数定理を用いて示せる.$■$

 

系3.$d\mid p-1$ なら $x^{d}\equiv1\bmod p$ は丁度 $d$ 個の解を持つ.

(証明)

命題2より,$x^{d}-1\equiv0$ は高々 $d$ 個の解をもつ.

そこで,$x^{d}-1\equiv0$ の解が $d$ 個よりも少ないと仮定する.

さて,$p-1=de$ とおくと

\begin{eqnarray}x^{p-1}-1&=&(x^{d})^{e}-1\\&=&(x^{d}-1) ( (x^{d})^{e-1}+(x^{d})^{e-2}+\dots+x^{d}+1)\end{eqnarray}

なので,この根の個数は $d+d(e-1)$ 個よりも少ない.つまり $p-2$ 個以下のはずである.

ところが,フェルマーの小定理より $x^{p-1}-1$ は $1,2,\dots,p-1$ の $p-1$ 個の根をもつ.

これは矛盾しているので,$x^{d}-1$ の根は丁度 $d$ 個である.$■$

 

定理4. $p$ が素数なら $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群となる.

(証明)

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ の位数は $p-1$ なので,位数 $p-1$ の元の存在を示せばいい.

$p-1=q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}\dots q_{t}^{a_{t}}$ と因数分解しておき,各 $i$ について次の2つの方程式を考える;

\begin{eqnarray}x^{q_{i}^{a_{i}-1}}&\equiv&0\bmod p\hspace{15pt}(1)\\ x^{q_{i}^{a_{i}}}&\equiv&0\bmod p\hspace{15pt}(2)\end{eqnarray}

系3から,(2)の方が(1)よりもたくさんの解をもつ.

そこで各 $i$ について,(1)をみたさないが(2)をみたすようなものを $g_{i}$ とおく.

すると,各 $i$ で $g_{i}$ の$\bmod p$ での位数は $q_{i}^{a_{i}}$ である.

実際,$g_{i}$ は(2)の解だから位数は $q_{i}^{b_{i}}\ (b\leq a_{i})$ という形をしているが,もし $b_{i}\lneq a_{i}$と仮定すると

\begin{eqnarray}g_{i}^{q_{i}^{a_{i}-1}}&=&(g_{i}^{q_{i}^{b_{i}}})^{q_{i}^{a_{i}-1-b}}\\&\equiv&1\hspace{30pt}\bmod p\end{eqnarray}

となり,これは $g_{i}$ が(1)をみたさないことに矛盾する.

よって $b_{i}=a_{i}$ である.

さて,$g:=g_{1}g_{2}\dots g_{t}$ とおく.

すると,$g$ の位数が $p-1$ であることが次のようにしてわかる.

まず,各 $i$ で $q_{i}^{a_{i}}\mid p-1$ より $g_{i}^{p-1}\equiv 1$ なので $g^{p-}$ となる.

よって,$g$ の位数を $n$ とおくと $n$ は $p-1$ の倍数で,$n=q_{1}^{c_{1}}q_{2}^{c_{2}}\dots q_{t}^{c_{t}}\ (c_{i}\leq a_{i})$ という形をしている.

ある $k$ で $c_{k}\lneq a_{k}$ となると仮定し,$m:=q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}\dots q_{k}^{c_{k}}\dots q_{t}^{a_{t}}$ とおく.($q_{k}$ の肩だけ $c$ で,他の肩は $a$)

すると,$i\neq k$ で $q_{i}^{a_{i}}\mid m $ で $i=k$ で $q_{k}^{a_{k}}\not\mid m $ なので

\begin{eqnarray}g^{m}&\equiv&g_{k}^{m}\\&\not\equiv&1\bmod p\end{eqnarray}

である.

ところが $m $ は $n$ の倍数なので $g^{m}\equiv 1\bmod p$ であり,これは矛盾している.

したがってすべての $i$ で $c_{i}=a_{i}$ で,$n=p-1$ となる.

つまり,この $g$ が $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の生成元である. $■$

 

定義5. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ が巡回群のとき,その生成元を$\bmod p$ に対する原始根と呼ぶ.

 

定理4は,$p$ が素数なら$\bmod p$ に対する原始根が存在するということを言っていたのでした.

 

 

それでは, $(\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z})^{\times}$ を見ていきましょう.

そのために,いくつかの補題を用意しておきます.

 

補題6. $a\equiv b\bmod p^{l}$ なら $a^{p}\equiv b^{p}\bmod p^{l+1}$ となる.$(l\geq1)$

(証明)

$a\equiv b\bmod p^{l}$ のとき,ある $c\in\mathbb{Z}$ で $a=b+cp^{l}$ と表せるので,

\begin{eqnarray}\displaystyle a^{p}&=&(b+cp^{l})^{p}\\&=&b^{p} + pb^{p-1}cp^{l+1} + \sum_{k=2}^{p} {}_{p}\mathrm{C}_{k} b^{p-k}c^{k}p^{kl}\\&\equiv&b^{p}\bmod p^{l+1}\end{eqnarray} 

となる. $■$

 

系7. $l\geq 2$,$p\neq 2$ のとき,$ (1+ap)^{p^{l-2}}\equiv 1+ap^{l-  1}\bmod p^{l}$ となる.$(\forall a\in\mathbb{Z})$

(証明)

$l$ の帰納法で示す.

$l=2$ のときはオッケー.

$l$ で主張が正しいと仮定すると,この仮定に補題6を用いて

\begin{eqnarray}( (1+ap)^{p^{l-2}})^p\equiv (1+ap^{l -  1})^{p}\bmod p^{l}\end{eqnarray}

つまり

\begin{eqnarray}\displaystyle (1+ap)^{p^{l-  1}}&\equiv&1+pap^{l-  1}+ \sum_{k=2}^{p-1}{}_{p}\mathrm{C}_{k}a^{k}p^{k(l-  1)} + a^{p}p^{p(l-  1)}\\&\equiv&1+ap^{l}\bmod p^{l+1}\end{eqnarray} 

を得る. $■$

 

系8. $l\geq 2$,$p\neq 2$ で $p\not\mid a$ のとき,$1+ap$ の$\bmod p^{l}$ での位数は $p^{l-  1}$ である.

(証明)

$l+1$ で系7を用い,$(1+ap)^{p^{l-  1}}\equiv 1\bmod p^{l}$ がわかる.

また,系7より $(1+ap)^{p^{l-2}}\not\equiv 1\bmod p^{l}$ である.

よって,定理4の証明のときと同じような方法で $1+ap$ の$\bmod p^{l}$ での位数は $p^{l-  1}$ と分かる. $■$

 

さて,この補題を使って $(\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z})^{\times}$ の構造を調べていくのですが,$p=2$ のとき例えば $l=3,\ a=3$ とかでこの補題は成立しません.

だから,$p$ が奇素数のときと $p=2$ のときとで分けて考えていきます.

 

定理9. $p$ が奇素数のとき,$(\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群である.

(証明)

まず,$\bmod p$ の原始根 $g$ で $g^{p-1}\not\equiv 1\bmod p^{2}$ となるものがとれることを示す.

定理4より$\mod p$ の原始根 $g$ はとれる.

この $g$ で $g^{p-1}\equiv 1\bmod p^{2}$ となるときは,代わりに $g+p$ をとればいい.

実際,このとき $g+p$ も$\bmod p$ の原始根だし,

\begin{eqnarray}\displaystyle (g+p)^{p1}&=&g^{p-1} + (p-1)g^{p-2}p + \sum_{k=2}^{p-1}{}_{p-1}\mathrm{C}_{k}g^{p-1-k}p^{k}\\&\equiv&1+(p-1)g^{p-2}p\bmod p^{2}\\ &\not\equiv& 1\bmod p^{2}\end{eqnarray}

である.

よって,$g^{p-1}\not\equiv 1\bmod p^{2}$ なる$\bmod p$ の原始根 $g$ がとれる.

さて,この $g$ が$\bmod p^{l}$ の原始根となることを示す.

今 $(\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z})$ の位数はオイラー関数を用いて $\phi(p^{l})=p^{l-  1}(p-1)$ なので,

\begin{eqnarray} g^{n}\equiv 1\bmod p^{l}\Rightarrow p^{l-  1}(p-1)\mid n\end{eqnarray}

を示せばよい.

さて,$g^{n}\equiv 1\bmod p^{l}$ のとき $g^{n}\equiv 1\bmod p$ で,$g$ は$\bmod p$ で位数 $p-1$ だから,$p-1\mid n$ を得る.

また,$g$ の選び方から,$g^{p-1}$ は $p$ と互いに素なある $a\in\mathbb{Z}$ を用いて $g^{p-1}=1+ap$ と表せる.

このとき

\begin{eqnarray}(1+ap)^{n}&=&(g^{p-1})^{n}\\&=&(g^{n})^{p-1}\\&\equiv&1\bmod p^{l}\end{eqnarray}

で,系8より $1+ap$ の$\bmod p^{l}$ での位数は $p^{l-  1}$ なので,$p^{l-  1}\mid n$ を得る.

今,$p-1$ と $p^{l-  1}$ は互いに素だから,以上から $p^{l-  1}(p-1)\mid n$ となる. $■$

 

 

さて,$\bmod n$ の原始根は必ずしも存在するとは限りません.

例えば, $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}=\{1,3,5,7\}$ は位数 $4$ の元を持たず巡回群でないので,$\bmod 8$ の原始根は存在しません.

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\times}=\{1\}$ と $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^{\times}=\{1,3\}$ は巡回群ですが,$l\geq 3$ に対して $(\mathbb{Z}/2^{l}\mathbb{Z})^{\times}$ は違った構造になっています.

 

補題10. $l\geq 3$ に対して,$5$ の$\bmod 2^{l}$ での位数は $2^{l-2}$ である.

(証明)

まず,$5^{2^{l-3}}\equiv 1+2^{l-  1}\bmod 2^{l}$ を $l$の帰納法で示しておく.

$l=3$ のときは明らかにオッケー.

$l$ で主張が正しいと仮定すると,この仮定に補題6を用いて

\begin{eqnarray}(5^{2^{l-3}})^{2}\equiv (1+2^{l-  1})^{2} \bmod 2^{l+1}\end{eqnarray}

つまり

\begin{eqnarray}5^{2^{l-2}}&\equiv&1+2^{l}+2^{2(l-  1)}\\&\equiv&1+2^{l}\bmod 2^{l}\end{eqnarray}

である.従って,すべての $l\geq 3$で

\begin{eqnarray}5^{2^{l-3}}&\equiv&1+2^{l-  1}\bmod 2^{l}\\&\not\equiv&1\bmod2^{l}\end{eqnarray}

である.また,$5^{2^{l-2}}\equiv 1+2^{l}\bmod 2^{l+1}$ より $5^{2^{l-2}}\equiv 1\bmod 2^{l}$ である.

よって,定理4の証明のときと同じ方法で,$5$ の$\bmod 2^{l}$ での位数は $2^{l-2}$ とわかる. $■$

 

定理11. $l\geq 3$ に対して $(\mathbb{Z}/2^{l}\mathbb{Z})^{\times}$ は$C_{2}\times C_{2^{l-2}}$ と同型.ただし $C_{r}$ は位数 $r$ の巡回群

(証明)

 $G:=\left\{\overline{(-1)^{a}5^{b}}\mid a=0,1,\ 0\leq b<2^{l-2}\right\}$ とおく.ただし $\overline{x}$ は $x$ の$\bmod 2^{l}$ での剰余類とする.

まず,$\overline{(-1)^{a}5^{b}}$ たちがそれぞれ異なることを示す.

$(-1)^{a}5^{b}\equiv (-1)^{c}5^{d}\bmod 2^{l}$ のとき,$5\equiv 1\bmod 4$ より $(-1)^{a}1^{b}\equiv(-1)^{c}1^{d}\bmod 4$ つまり $(-1)^{a}\equiv(-1)^{c}\bmod 4$ となる.

よって $a=c$ となる.

このとき $5^{b}\equiv 5^{d}\bmod 2^{l}$ より $5^{b-d}\equiv 1\bmod 2^{l}$ である.

よって補題10より $b-d$ は $2^{l-2}$ の倍数なので,$0\leq b,d<2^{l-2}$ より $b=d$ となる.

従って $G$ の元の個数は $2^{l-  1}=\phi(2^{l})$ なので,$(\mathbb{Z}/2^{l}\mathbb{Z})=G$ となる.

よって $(\mathbb{Z}/2^{l}\mathbb{Z})\cong C_{2}\times C_{2^{l-2}}$ である. $■$

 

 

以上をまとめると,$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の構造は次のようになります.

 

定理12.$n=2^{a}p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{t}^{a_{t}}$ と因数分解されているとき,

\begin{eqnarray}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/2^{a}\mathbb{Z})^{\times}\times C_{\phi(p_{1}^{a_{1}})}\times C_{\phi(p_{2}^{a_{2}})}\times\dots\times C_{\phi(p_{t}^{a_{t}})}\end{eqnarray}

であり,$(\mathbb{Z}/2^{a}\mathbb{Z})^{\times}$ は $a=1,2$ のときそれぞれ $C_{1},C_{2}$ と同型で,$a\geq 3$ のとき $C_{2}\times C_{2^{a-2}}$ と同型である.

 

 

ではまた.

 

(途中,まちがいを指摘してもらって書き直しました.2017.6.12)

 

 

参考文献

Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. 1990. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag.

 

ベキ級数の収束半径とディリクレ級数の収束軸の話

こんにちは,ぱいです.

最近おもしろいと思ったことを書きます.

 

 

このごろディリクレ級数と呼ばれる級数を勉強しています.

ベキ級数と似た性質やびみょーに異なった性質とかがあって面白いので,ディリクレ級数の話を書く前にベキ級数の話をざーっとおさらいしておきます.

 

 

 数列 $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ に対して $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}\ \ (z\in\mathbb{C})$ をベキ級数といいます.

 

$z_{0}\in\mathbb{C}$ に対して $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z_{0}^{n}$ が収束するとき,$\{a_{n}z_{0}^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $n\in\mathbb{N}$ で $|a_{n}z_{0}^{n}|<C $ となります. 

このとき任意の $z\in\mathbb{C},\ n\in\mathbb{N}$ で\begin{eqnarray}\displaystyle|a_{n}z^{n}|&<&C\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n}\end{eqnarray}

なので,\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}z^{n}|&<&\sum_{n\in\mathbb{N}}C\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n}\end{eqnarray}となります. よって,$\displaystyle\left|\frac{z}{z_{0}}\right|<1$ つまり $|z|<|z_{0}|$ ならベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は絶対収束します.

そこで,$\displaystyle R_{0}=\sup\{|z|\mid \sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$は収束する$\}$ をベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径といい,領域 $|z|<R_{0}$ を収束円盤といいます.

つまり,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は $|z|<R_{0}$ なら収束し,$|z|>R_{0}$ なら発散します.

 

ベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径 $R_{0}$ は,$\displaystyle R_{0}=\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ で求められます.

まず $\displaystyle R_{0}\leq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$|z|<R_{0}$ とすると $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ が収束するので $\{a_{n}z^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は有界で,ある $M>0$ が存在して任意の $n\in\mathbb{N}$ で\begin{eqnarray}|a_{n}z^{n}|&<&M\end{eqnarray}となります.このとき\begin{eqnarray}|a_{n}|^{-1/n}&>&M^{-1/n}|z|\end{eqnarray}となるので\begin{eqnarray}\displaystyle\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}&>&\liminf_{n\to\infty}M^{-1/n}|z|=|z|\end{eqnarray} となります.よって $\displaystyle R_{0}\leq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

逆に $\displaystyle R_{0}\geq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$\displaystyle|z|<\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k>n}|a_{k}|^{-1/k}$ とすると,ある $n_{0}\in\mathbb{N}$ が存在して,\begin{eqnarray}\displaystyle|z|<\inf_{k>n_{0}}|a_{k}|^{-1/k}\end{eqnarray}となります.このとき\begin{eqnarray}\displaystyle\sup_{k>n_{0}}|z||a_{k}|^{1/k}<1\end{eqnarray}より $\displaystyle\sum_{k>n_{0}}|a_{k}z^{k}|$ は収束します.よって $|z|<R_{0}$ となり,$\displaystyle R_{0}\geq\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

 

ベキ級数は収束円盤の内部では必ず収束し収束円盤の外部では必ず発散しますが,円周上では収束したり発散したり時と場合によっていろいろです.

たとえば $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$ のベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{z^{n}}{n}$ の収束半径は\begin{eqnarray}\displaystyle R_{0}&=&\liminf_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{-1/n}\\&=&1\end{eqnarray}ですが,$z=1$ のとき級数は $+\infty$ に発散し,$z=-1$ のとき級数は $\log 2$ に収束します.

 

 

さて,そろそろディリクレ級数の話を書いていきます.

 

複素数列 $\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ と発散する狭義単調増加実数列 $\{\lambda_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ に対して $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\ \ (s\in\mathbb{C})$ をディリクレ級数といいます.(普段複素数は $z=x+iy$ と書きますが,ディリクレ級数を考えるときは $s=σ+it$ と書くことが多いらしいです.)

 

$\lambda_{n}=n$ のときは,$z=e^{-s}$ とおくとディリクレ級数はベキ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ となります. 

このベキ級数の収束半径を $R_{0}$ とし,$σ_{0}=\log\frac{1}{R_{0}}$ とおいてみましょう.

$|z|=|e^{-s}|=|e^{-σ}|$ なので,$\mathrm{Re}(s)>σ_{0}$ なら $|z|<R_{0}$ となり級数は収束します.

逆に $\mathrm{Re}(s)<σ_{0}$ なら $|z|>R_{0}$ となり級数は発散します.

($\mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ のときは $|z|=R_{0}$ なので時と場合によっていろいろです.)

このように,ディリクレ級数を考えると,ベキ級数の収束円盤の円周 $|z|=R_{0}$ は $\mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ という軸のような形になります.

 

一般にディリクレ級数には,ベキ級数の収束半径と似たような収束軸と呼ばれるものがあります.

 

まず,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ が $s=s_{0}=σ_{0}+it_{0}$ で収束するときこの級数が領域 $D_{0}:=\{s\in\mathbb{C}\mid\mathrm{Re}(s)>σ_{0}\}$ でコンパクト一様収束することを示します.

$a_{n}e^{-\lambda_{n}(s_{0}}$ を改めて $a_{n}$ とおけばいいので,$s_{0}=0$ のときを示せば十分です.

$\varepsilon>0$ に対して $\displaystyle D_{\varepsilon}:=\{s\in\mathbb{C}\mid|\arg s|\geq\frac{\pi}{2}-\varepsilon\}$ とおくと,任意のコンパクト集合 $K\subset D_{0}$ に対してある $\varepsilon>0$ で $K\subset D_{\varepsilon}$ となります.($K$ は有界閉だから.)

よって,任意の $\varepsilon>0$ に対して $D_{\varepsilon}$ で $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{C}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ が一様収束することを示せば十分です.

$|\arg s|=\theta$ とおくと $\displaystyle\theta\geq\frac{\pi}{2}-\varepsilon$ よりある $C>0$ で $\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}<C$ つまり $\displaystyle\frac{|s|}{σ}<C$ となります.

また,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{C}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $s=0$ である $S\in\mathbb{C}$ に収束するので,ある $N_{0}\in\mathbb{N}$ が存在し,$N>N_{0}$ なら $\displaystyle\left|\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}-S\right|<\frac{\varepsilon}{2(C+1)}$ となります.

この $N_{0}$ に対して,$N>M>N_{0}$ なら 

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}-\sum_{n\leq M}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\right|&=&\left|\sum_{M<n\leq N}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N}\left(\sum_{M<k\leq n}a_{k}-\sum_{M<k<n}a_{k}\right)e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N}\sum_{M<k\leq n}a_{k}e^{-\lambda_{n}s}-\sum_{M<n\leq N}\sum_{M<k<n}a_{k}e^{-\lambda_{n}s}\right|\\&=&\left|\sum_{M<n\leq N-1}\sum_{M<k\leq n}a_{k}\left(e^{-\lambda_{n}s}-e^{-\lambda_{n+1}s}\right)+\sum_{M<k\leq N}a_{k}e^{-\lambda_{N}s}\right|\\&\leq&\sum_{M<n\leq N-1}\left|\sum_{M<k\leq n}a_{k}\right|\left|e^{-\lambda_{n}s}-e^{-\lambda_{n+1}s}\right|+\left|\sum_{M<k\leq N}a_{k}\right|\left|e^{-\lambda_{N}s}\right|\\&=&\sum_{M<n\leq N-1}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|e^{-\lambda_{N}σ}\\&\leq&\sum_{M<n\leq N-1}\left(\left|\sum_{k\leq n}a_{k}-S\right|+\left|S-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\right)\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left(\left|\sum_{k\leq N}a_{k}-S\right|+\left|S-\sum_{k\leq M}a_{k}\right|\right)e^{-\lambda_{N}σ}\\&<&\sum_{M<n\leq N-1}\left(\frac{\varepsilon}{2(C+1)}+\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\right)\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda{n+1}}se^{-xs}dx\right|+\left(\frac{\varepsilon}{2(C+1)}+\frac{\varepsilon}{2(C+1)}\right)e^{-\lambda{N}σ}\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\left|\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}se^{-xs}dx\right|+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&\leq&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}\left|se^{-xs}\right|dx+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\int_{\lambda_{n}}^{\lambda_{n+1}}|s|e^{-xσ}dx+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\sum_{M<n\leq N-1}\frac{|s|}{σ}\left(e^{-\lambda{n}σ}-e^{-\lambda_{n+1}σ}\right)+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&=&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(\frac{|s|}{σ}\left(e^{-\lambda_{M+1}σ}-e^{-\lambda_{N}σ}\right)+e^{-\lambda{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(C\left(e^{-\lambda_{M+1}σ}-e^{-\lambda_{N}σ}\right)+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(Ce^{-\lambda_{M+1}}σ+e^{-\lambda_{N}σ}\right)\\&<&\frac{\varepsilon}{C+1}\left(Ce^{-\lambda_{N_{0}}σ}+e^{-\lambda_{N_{0}}σ}\right)\\&=&\varepsilon e^{-\lambda_{N_{0}}σ}\\&<&\varepsilon\end{eqnarray}

となるので,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $D_{\varepsilon}$ で一様収束します.

 

そこで,$\displaystyle A:=\{\mathrm{Re}(s)\mid\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$は収束する$\}$ に対して $A=\emptyset$ なら $σ_{0}:=+\infty$ とし $A\neq\emptyset$ なら $σ_{0}:=\inf A$ とし,この $σ_{0}$ をディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ の収束軸といいます.

つまり,ディリクレ級数$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}e^{-\lambda_{n}s}$ は $σ>σ_{0}$ なら収束し,$σ<σ_{0}$ なら発散します.

 

 

さて,$\lambda_{n}=\log n$ のディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ を通常ディリクレ級数といいます.

 

通常ディリクレ級数 $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸は $\displaystyle σ_{0}=\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ で求められます.

まず $\displaystyle σ_{0}\geq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ を示します.

$σ_{0}=0$ としてよく,$σ>0$ なる $σ$ を任意にとります.

$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}n^{-σ}\right|<C\end{eqnarray}

となります.よって,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|&=&\left|\sum_{n\leq N}\left(a_{n}n^{-σ}\right)n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\left(\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}-\sum_{k\leq n-1}a_{k}k^{-σ}\right)n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n-1}a_{k}k^{-σ}n^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}(n+1)^{σ}\right|\\&=&\left|\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}\left(n^{σ}-(n+1)^{σ}\right)+\sum_{k\leq N}a_{k}k^{-σ}N^{σ}\right|\\&\leq&\sum_{n\leq N-1}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}k^{-σ}\right|\left((n+1)^{σ}-n^{σ}\right)+\left|\sum_{k\leq N}a_{k}k^{-σ}\right|N^{σ}\\&<&\sum_{n\leq N-1}C\left((n+1)^{σ}-n^{σ}\right)+CN^{σ}\\&=&C(N^{σ}-1^{σ})+CN^{σ}\\&<&2CN^{σ}\end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&<&\frac{\log 2C}{\log N}+σ\end{eqnarray}

となり

\begin{eqnarray}\displaystyle\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&\leq&\limsup_{N\to\infty}\left(\frac{\log 2C}{\log N}+σ\right)\\&=&σ\end{eqnarray}

となります.よって $\displaystyle\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}\leq σ_{0}$ です.

逆に $\displaystyle σ_{0}\leq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ を示します.

$\displaystyle σ>\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}=\inf_{N\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq N}\frac{\log\left|\sum_{n\leq k}a_{n}\right|}{\log k}$ とします.

$\displaystyle\inf_{N\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq N}\frac{\log\left|\sum_{n\leq k}a_{n}\right|}{\log k}<\alpha<σ$ なる $\alpha$ を任意にとると,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}&\leq&\alpha\end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|&\leq&N^{\alpha}\end{eqnarray}

です.さて,任意の $N\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\leq N}a_{n}n^{-σ}&=&\sum_{n\leq N-1}\sum_{k\leq n}a_{k}\left(n^{-σ}-(n+1)^{-σ}\right)+\sum_{k\leq N}a_{k}N^{-σ}\\&=&\sum_{n\leq N}\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx+N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\end{eqnarray}

です.ここで, 

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx\right|&\leq&\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\right|\int_{n}^{n+1}\left|σx^{-σ-1}\right|dx\\&=&|σ|\sum_{n\leq N}\left|\sum_{k\leq n}a_{k}\right|\int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx\\&\leq&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha}\int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx\\&\leq&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha}\int_{n}^{n+1}n^{-σ-1}dx\\&=&|σ|\sum_{n\leq N}n^{\alpha-σ-1}\\&<&|σ|\left(1+\int_{1}^{N}x^{\alpha-σ-1}dx\right)\\&=&|σ|\left(1+\frac{1-N^{\alpha-σ}}{σ-\alpha}\right)\\&<&|σ|\left(1+\frac{1}{σ-\alpha}\right)\end{eqnarray} 

より $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k\leq n}a_{k}\int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx$ は絶対収束します.また,

\begin{eqnarray}\displaystyle\left|\leq N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\right|&\leq&N^{-σ}\sum_{k\leq N}|a_{k}|\\&\leq&N^{-σ}N^{\alpha}\\&=&N^{\alpha-σ}\end{eqnarray}

で $\alpha-σ<0$ なので

\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\left|N^{-σ}\sum_{k\leq N}a_{k}\right|=0\end{eqnarray}

となります.よって $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{0}$ となります.つまり $\displaystyle σ_{0}\leq\limsup_{N\to\infty}\frac{\log\left|\sum_{n\leq N}a_{n}\right|}{\log N}$ です.

 

さて,ベキ級数のときは $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}z^{n}$ と $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|z^{n}$ の収束半径はどちらも $\displaystyle R_{0}=\liminf_{n\to\infty}|a_{n}|^{-1/n}$ で同じでしたが,通常ディリクレ級数の収束軸は $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ と $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ とでズレる場合もあります.

たとえば,リーマンのゼータ関数 $\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n\in\mathbb{N}}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=1$ ですが,その交代級数 $\sum_{n\in\mathbb{N}}(-1)^{n-1}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=0$ です.

 

しかし,係数に絶対値をつけても収束軸はせいぜい正の方向に $1$ までしかズレません.

つまり, $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸を $σ_{0}$,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ の収束軸を $σ_{1}$ とすると

\begin{eqnarray}σ_{0}\leq σ_{1}\leq σ_{0}+1\end{eqnarray}

となります.

$σ_{0}\leq σ_{1}$ はいいので,$σ_{1}\leq σ_{0}+1$ を示します.

ここで,$σ_{0}=0$ としてよいので,$σ>1$ なら $σ>σ_{1}$ となることを示します.

$0<\alpha<σ-1$ なる $\alpha$ を任意にとると,$\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-\alpha}$ は収束するので $\{a_{n}n^{-\alpha}\}_{n\in\mathbb{N}}$ は収束し有界で,ある $C>0$ が存在し任意の $n\in\mathbb{N}$ で

\begin{eqnarray}\left|a_{n}n^{-\alpha}\right|<C\end{eqnarray}

となります. このとき

\begin{eqnarray}|a_{n}|n^{-σ}<Cn^{\alpha-σ}\end{eqnarray}

となるので,

\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}|a_{n}|n^{-σ}&\leq&\sum_{n\in\mathbb{N}}Cn^{\alpha-σ}\\&=&C\zeta(σ-\alpha)\end{eqnarray}

となります.ここで $\zeta(s)$ の収束軸は $σ_{0}=1$ で $σ-\alpha>1$ なので,$\zeta(σ-\alpha)$ は収束します.よって $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{1}$ となります.

 

 

こんな感じで,ディリクレ級数とベキ級数は似たような性質もあるしびみょーに異なった性質もあっておもしろいです. 

 

以上,最近おもしろいと思った話でした.

 

 

参考文献

D.B.ザギヤー (1990)『数論入門-ゼータ関数と2次体-』(片山孝次訳) 岩波書店